专题 10 坐标系与参数方程

—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

【高频考点及备考策略】

极坐标部分重点考查极坐标与直角坐标的互化，利用极径的几何意义解决与长度有关的问题，同时考查直线与圆的位置关系；参数方程部分多考查直线、圆、椭圆的参数方程的应用，重视对参数的理解与应用，突出考查极坐标系和参数方程在解决几何问题中的应用，比如长度问题、面积问题、最值问题等.

考向预测：

（1）掌握极坐标与直角坐标的互化，能够以极坐标方程为工具解决简单的几何问题.

（2）深入体会直线、圆、椭圆参数方程在几何中的应用.

一、平面直角坐标系中的伸缩变换

设点$P(x,y)$是平面直角坐标系中的任意一点，在变换$\varphi :\{\begin{array}{l}\text{<msup><mo>′</mo></msup>}=\lambda \cdot \text{x,(}\lambda >\text{0),}\\ \text{<msup><mo>′</mo></msup>}=\mu \cdot \text{y},(\mu >\text{0}).\end{array}$的作用下，点$P(x,y)$对应到点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，称$\varphi$为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

（1）知旧求新：写出伸缩变换，再把$(x,y)$带入旧方程；

（2）知新求旧：写出伸缩变换，再把$(x^{\prime },y^{\prime })$带入新方程；

二、第一问考查

（1）极坐标方程⇔直角坐标方程：应用公式$\{\begin{array}{l}{\rho }^2=x^2+y^2\\ \tan \theta =\frac{y}{x}(x\ne 0)\end{array},\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$

化简方法：①两边同乘$\rho$，构造$\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta$，②两边同时平方产生${\rho }^2$；③有分式去分母，有根式两边同时平方；

（2）极坐标点$\Rightarrow$直角坐标点：运用公式和数形结合来转化；

（3）参⇔普：消参法：①加减消参；②带入消参；③两式相乘或相除消参；④有三角函数的利用平方关系消参（${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$），⑤两式两边同时平方在相加消元；

（4）极⇔参：极化直再直化参；

（5）$\theta =\alpha (\rho \in R,\alpha \ne \frac{\pi }{2})$表示过原点，倾斜角为$\alpha$的直线；若$\alpha =\frac{\pi }{2}$，则直角坐标方程为$x=0$表$y$轴

（6）直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程如下：

	普通方程	参数方程
直线	$y-y_0=k(x-x_0)$	（t为参数，为直线的倾斜角）
圆	${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2$	（为参数，且）
椭圆	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	（为参数，且）

三、直线参数方程中$t$的几何意义：

（1）设直线$l$与曲线交点为A，B，对应参数为$t_A,t_B$，定点为$p_0(x_0,y{}_0)$，则$\left|p_{0}A\right|=\left|t_A\right|,\left|p_{0}B\right|=\left|t_B\right|$，去绝对值的依据是看定点在交点的上方还是下方：$\{\begin{array}{l}交点在定点上方：\left|p_{0}A\right|=t_A,\left|p_{0}B\right|=t_B;\\ 交点在定点下方：\left|p_{0}A\right|=\text{-}{t}_A,\left|p_{0}B\right|=\text{-}{t}_B;\end{array}$

即：$\left|t\right|$表示直线上点到定点的距离；

（1）弦长$\left|AB\right|=\sqrt{{(t_A+t_B)}^2-4t_A{t}_B}$；A，B中点为M，则M对应参数为$t_M=\frac{t_A+t_B}{2}$；

（2）若A，B中点为M，则M对应的参数为$t_M=0$

（3）直线标准参数方程满足：$\{\begin{array}{l}1、x与y的t的两系数平方和为1\\ 2、y的\text{t}系数大于\text{0}\end{array}$

非标准参数方程化为标准参数方程：①写出直线的普通方程；②求出斜率$k=\tan \alpha$，由示意三角形求出$\cos \theta ,\sin \theta$，带入标准参数方程$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$（$t$为参数）

（4）x轴的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\end{array}$，（t为参数），y轴的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\end{array}$（t为参数）；

四、利用直线参数方程的几何意义求解直线与曲线相交的距离问题：

①写出直线的标准参数方程（t为参数）；

②把直线的标准参数方程代入曲线的一般方程中，得到一个关于t的一元二次方程，设出两交点对应参数$t_1,t_2$，写出韦达定理$\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=-\frac{b}{a}\\ t_1\cdot t_2=\frac{c}{a}\end{array}$，数形结合，由参数几何意义来解题.

五、若只是求直线与圆的相交弦长：则只需用公式$l=2\sqrt{r^2-d^2}$

六、求最值问题：

①写出曲线的参数方程，并把点坐标用参数方程设出来.

②用参数方程表示出要解决的最值问题（如点到直线的距离）转化为三角函数或者二次函数最值问题

七、利用极角和极径的几何意义求有关长度和面积问题：

曲线的极坐标方程中的$\rho ,\theta$的几何意义是：$\rho$表示点到极点间的距离，$\theta$表示从极轴出发逆时针旋转的角度.若直线过极点，求解过极点（过原点）的距离有关问题时，可用$\rho$的几何意义求解；

注意：已知直线l与曲线C的极坐标方程，且直线l与曲线C交于A，B两点，则利用极坐标方程中的极径ρ解题时，一般将直线l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，消去极角θ，得到关于ρ的一元二次方程，即可利用根与系数的关系求弦长(弦AB的长$\left|AB\right|$=$\left|{\rho }_1\text{-}{\rho }_2\right|$，其中ρ₁，ρ₂为一元二次方程的解)或者求弦长的取值范围等.

八、求轨迹方程问题：依据题目条件列出式子来求.

【易错警示】

1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．

2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

利用消参法进行参数方程与普通方程的互化

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

2020-07-08更新 | 35723次组卷 | 55卷引用：考向31 坐标系与参数方程-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

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2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 利用消参法进行参数方程与普通方程的互化

已知曲线C₁，C₂的参数方程分别为C₁：（θ为参数），C₂：（t为参数）.
（1）将C₁，C₂的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C₁，C₂的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

2020-07-08更新 | 36753次组卷 | 78卷引用：西藏自治区林芝市第二高级中学2021届高三上学期第三次月考数学（理）试题

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2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

2020-07-08更新 | 29895次组卷 | 53卷引用：内蒙古乌兰察布市集宁一中西校区2019-2020学年高二（下）期末数学（理科）试题

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2020·江苏·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

2020-07-08更新 | 7631次组卷 | 32卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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考点 一 极坐标与简单曲线的极坐标方

【典例】

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 利用消参法进行参数方程与普通方程的互化

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为(α为参数)，曲线C₂:+y²=1.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C₁，C₂的极坐标方程;
（2）射线OT:θ=(ρ≥0)与C₁异于极点的交点为A，与C₂的交点为B，求|AB|.

2020-08-13更新 | 726次组卷 | 2卷引用：专题10+坐标系与参数方程-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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【备考策略】

1、解决极坐标问题的一般思路:

（1）如果对极坐标的意义和应用不太熟悉，可将极坐标方程化为直角坐标方程，求出曲线方程或交点坐标，再将其化为极坐标的形式;

（2）直接建立或求解极坐标方程，再结合题意求解.

2、利用$\rho$的几何意义解题

已知直线l与曲线C的极坐标方程，且直线l与曲线C交于A，B两点，则利用极坐标方程中的极径ρ解题时，一般将直线l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，消去极角θ，得到关于ρ的一元二次方程，即可利用根与系数的关系求弦长(弦AB的长$\left|\mathrm{A}\mathrm{B}\right|$=$\left|{\mathrm{\rho }}_1\text{-}{\mathrm{\rho }}_2\right|$，其中ρ₁，ρ₂为一元二次方程的解)或者求弦长的取值范围等.

【类比演练】

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 面积问题

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.
（1）求曲线和圆的极坐标方程；
（2）当时，若射线与曲线和圆分别交于异于点的、两点，且，求的面积.

2020-08-13更新 | 601次组卷 | 1卷引用：专题10+坐标系与参数方程-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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考点 二 简单曲线的参数方程

【典例】

18-19高三上·湖北武汉·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

已知直线：（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．

2019-03-12更新 | 1899次组卷 | 7卷引用：【全国百强校】湖北省武汉市第六中学2019届高三12月月考数学理试题

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【备考策略】

利用直线参数方程中参数$t$的几何意义求相关的距离（线段长）时，解题的思路是：

（1）判断直线的参数方程是否是标准式；

（2）在求直线$l$与曲线$C$：$f(x,y)=0$的交点间的距离时，把直线$l$的参数方程${\{}_{y=y_0+t\sin \alpha }^{x=x_0+t\cos \alpha }$（为参数）代入曲线$C$：$f(x,y)=0$，化简整理后得到关于$t$的方程$f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\sin \alpha )=0$.设该方程的根为$t_1,t_2$，直线$l$与曲线C的交点为A，B则

$\left|\mathrm{A}\mathrm{B}\right|$=$\left|{\mathrm{t}}_2\text{-}{\mathrm{t}}_1\right|$$\left|AB\right|=\left|t_1-t_2\right|=\sqrt{{(t_1+t_2)}^2-4t_1{t}_2}$；

（1）设点P是直线$l$上一定点，$l$与曲线$C$的交点为A，B，则$\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|$=$\left|t_1{t}_2\right|$；

当线段PA与PB同向时，$\left|PA\right|+\left|PB\right|$=$\left|t_1+t_2\right|$；

当线段PA与PB反向时，$\left|PA\right|+\left|PB\right|$=$\left|t_1-t_2\right|$；

（4）线段AB的中点M对应的参数为$t_M=\frac{t_1+t_2}{2}$.

【类比演练】

2019·辽宁沈阳·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的倾斜角及曲线的直角坐标方程；
（2）设且直线和曲线的交点为，，若，求实数的值．

2019-06-05更新 | 1204次组卷 | 3卷引用：【全国百强校】辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学（文）试题

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考点三 极坐标与参数方程的综合应用

【典例】

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 面积问题

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为.
（1）求，的极坐标方程;
（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.

2020-08-13更新 | 727次组卷

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【备考策略】

解决圆锥曲线相关的求范围、最值等综合问题的思路：

考虑利用参数方程中的参数去表示所求的量，然后利用三角函数的相关知识去求解.如果我们对参数方程或极坐标方程不熟悉，那么可以考虑把参数方程或极坐标方程转化为普通方程或直角坐标方程，然后根据圆锥曲线的相关知识去解决.

【类比演练】

2018·江西南昌·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 直线的参数方程中参数的几何意义解决距离问题

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线、的直角坐标方程;
（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.

2020-08-13更新 | 1639次组卷 | 13卷引用：【全国市级联考】2018年江西省南昌市高三第二次理科数学模拟试题

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解答题 | 适中(0.65)

已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2,ρ²-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

2016-12-02更新 | 1946次组卷

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2017·重庆·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用消参法进行参数方程与普通方程的互化

已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为 (为参数)．
（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；
（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段 的中点的轨迹方程．

2020-08-13更新 | 1092次组卷 | 7卷引用：重庆市巴蜀中学2017届高三第二次诊断考试模拟数学（理）试题

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19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

利用参数方程解决范围或最值问题

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

2020-08-13更新 | 776次组卷 | 1卷引用：专题10+坐标系与参数方程-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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