专题 11 不等式选讲

2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

【高频考点及备考策略】

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题，题型多为解答题，难度为中档．

考向预测：

（1）绝对值不等式的解法；

（2）不等式的证明；

（3）绝对值不等式恒成立（存在）问题；

1．绝对值不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

（1）|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.

②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（2）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．

②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．

③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．

3．证明不等式的基本方法

（1）比较法；（2）)综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）放缩法．

4．二维形式的柯西不等式

若a，b，c，d∈R，则(a²＋b²)(c²＋d²)≥(ac＋bd)²，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

【易错警示】

1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．

2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．

3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.

（2020新课标Ⅰ卷·理科T23）

2020·全国·高考真题

解答题-作图题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知函数．
（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

2020-07-08更新 | 29325次组卷 | 69卷引用：专题07 含有绝对值的不等式-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

（2020新课标Ⅱ卷·理科T23）

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

分类讨论法解绝对值不等式

已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.

2020-07-08更新 | 27349次组卷 | 83卷引用：内蒙古乌兰察布市集宁一中西校区2019-2020学年高二（下）期末数学（理科）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

（2020新课标Ⅲ卷·理科T23）

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

2020-07-08更新 | 24818次组卷 | 70卷引用：专题08 不等式的综合问题-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

（2020江苏卷·T23）

2020·江苏·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题

设，解不等式．

2020-07-08更新 | 3901次组卷 | 16卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

考点 一 绝对值不等式的解法

【备考策略】

解决含绝对值不等式问题

解形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种方法:

①分段讨论法:将数轴分为(-∞，a]，(a，b]，(b，+∞)(此处设a<b)三个部分，在每部分区间内去掉绝对值符号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集;

②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像，结合图像求解.

【类比演练】

2019·云南·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）设，若关于的不等式的解集非空，求的取值范围.

2019-04-23更新 | 829次组卷 | 4卷引用：【省级联考】云南省2019届高三第二次复习统一检测文科数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

考点 二 不等式的证明

2015·湖南·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．

2016-12-03更新 | 4835次组卷 | 32卷引用：2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

【备考策略】

本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．

【类比演练】

15-16高三下·云南玉溪·阶段练习

解答题-证明题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用基本不等式证明不等式

已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：．

2020-06-19更新 | 710次组卷 | 24卷引用：2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考理科数学试卷

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

考点 二 绝对值不等式恒成立（存在）问题

【典例】

11-12高三下·山西·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

设函数
（1）若时,解不等式;
（2）如果关于的不等式有解,求的取值范围.

2018-08-22更新 | 785次组卷 | 7卷引用：2011-2012学年山西大学附中高三4月月考理科数学试卷

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

【备考策略】

1．求含绝对值号函数的值的两种方法

（1）利用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．

（2）将函数化为分段函数，数形结合求解．

2．恒成立(存在)问题的等价转化

【类比演练】

2017·河南郑州·三模

解答题-问答题 | 容易(0.94)

名校

已知函数.
（1）若，使得成立，求的范围；
（2）求不等式的解集.

2017-05-07更新 | 655次组卷 | 5卷引用：河南省郑州市2017届高三毕业年级第三次质量预测数学（文）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

分类讨论法解绝对值不等式 分类讨论法求含绝对值不等式的最值

已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围.

2020-08-13更新 | 616次组卷 | 4卷引用：内蒙古赤峰市2021届高三一模数学(文)数学

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2014·河北邯郸·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

分类讨论法解绝对值不等式 分类与整合思想

已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

2016-12-02更新 | 1770次组卷 | 16卷引用：2014届河北省邯郸市高三第一次模拟考试理科数学试卷

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.

2020-08-13更新 | 317次组卷 | 1卷引用：专题11+不等式选讲-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

分类讨论法解绝对值不等式 利用基本不等式证明不等式

已知函数.
（1）求不等式的解集；       
（2）已知，M为的最大值，证明：.

2020-08-13更新 | 354次组卷 | 1卷引用：专题11+不等式选讲-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

19-20高三下·云南昆明·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

已知分别是的三个内角的对边.
（1）若成等比数列，证明：；
（2）若，证明：.

2020-05-10更新 | 517次组卷 | 3卷引用：云南省昆明市第一中学2019-2020学年高三第八次考前适应性训练数学（文）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷