专题 07 解析几何

—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

【高频考点及备考策略】

(1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系；弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义；掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的位置关系，会利用位置关系解决综合问题．

(2)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法；会利用圆锥曲线的性质解决相关问题．

(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法；会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题．

考向预测：

(1)根据两直线的位置关系求参数的值；根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹．

(2)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围．

(3)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．

1．直线的有关问题

(1)直线的斜率公式

①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tanα.

②已知直线过点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₂≠x₁)，则直线的斜率为k＝(x₂≠x₁)．

(2)三种距离公式

①两点间的距离：若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则|AB|＝.

②点到直线的距离：点P(x₀，y₀)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

③两平行线的距离：若直线l₁，l₂的方程分别为l₁：Ax＋By＋C₁＝0，l₂：Ax＋By＋C₂＝0，则两平行线的距离d＝.

(3)直线与圆相交时弦长公式

设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l＝2.

(4)直线方程的五种形式

①点斜式：y－y₀＝k(x－x₀).

②斜截式：y＝kx＋b.

③两点式：＝.

④截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．

⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．

(5)直线的两种位置关系

①当不重合的两条直线l₁和l₂的斜率存在时：

(ⅰ)两直线平行：l₁∥l₂⇔k₁＝k₂.

(ⅱ)两直线垂直：l₁⊥l₂⇔k₁·k₂＝－1.

②当两直线方程分别为l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0时：

(ⅰ)l₁与l₂平行或重合⇔A₁B₂－A₂B₁＝0.

(ⅱ)l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂＝0.

2．圆的有关问题

(1)圆的三种方程

①圆的标准方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r².

②圆的一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F>0).

③圆的直径式方程：(x－x₁)(x－x₂)＋(y－y₁)(y－y₂)＝0.(圆的直径的两端点是A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂))．

(2)判断直线与圆的位置关系的方法

①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．

②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．

(3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系

设圆O₁半径为r₁，圆O₂半径为r₂.

3．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF₁|＋|PF₂|＝2a(2a>|F₁F₂|)．

(2)双曲线：||PF₁|－|PF₂||＝2a(2a<|F₁F₂|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)．

4．圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a²＝b²＋c²；离心率为e＝＝.

②在双曲线中c²＝a²＋b²；离心率为e＝＝.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F₁(－c，0)，F₂(c，0).

②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F₁(0，－c)，F₂(0，c).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y²＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝∓.

②抛物线x²＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝∓.

5．弦长问题

直线与圆锥曲线相交时的弦长

斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)时，|AB|＝·|x₁－x₂|＝·或|AB|＝|y₁－y₂|＝.

【重要结论】

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y²＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则①x₁x₂＝，y₁y₂＝－p²；②弦长|AB|＝x₁＋x₂＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切.

【易错警示】

1．注意两平行线距离公式的应用条件

应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等．

2．忽略直线斜率不存在的情况

在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．

3．注意直线方程的限制条件

(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；

(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；

(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；

(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．

4．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.

5．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±还是±.

6．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．

一、选择题

（2020新课标Ⅰ卷·理科T4）

（2020新课标Ⅰ卷·理科T11）

2020·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

几何法求圆的方程

已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-08更新 | 45620次组卷 | 154卷引用：第28练 直线和圆-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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（2020新课标Ⅱ卷·理科T5）

2020·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

解题方法

待定系数法求圆方程

若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-08更新 | 48593次组卷 | 174卷引用：河南省开封市立洋外国语学校2020-2021学年高三第一次月考数学试题

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（2020新课标Ⅱ卷·理科T8）

2020·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域 范围问题

设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ）

A．4

B．8

C．16

D．32

2020-07-08更新 | 46073次组卷 | 143卷引用：河南省开封市立洋外国语学校2020-2021学年高三第一次月考数学试题

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（2020新课标Ⅲ卷·理科T5）

2020·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-08更新 | 37175次组卷 | 106卷引用：第31练 抛物线-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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（2020新课标Ⅲ卷·理科T11）

2020·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

面积问题

设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（       ）

A．1

B．2

C．4

D．8

2020-07-08更新 | 34235次组卷 | 102卷引用：第29练 椭圆-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T9）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T10）

2020·山东·高考真题

多选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

分类与整合思想

已知曲线.（       ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

2020-07-09更新 | 44894次组卷 | 155卷引用：2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷）

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（2020北京卷·T5）

2020·北京·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）．

A．4

B．5

C．6

D．7

2020-07-09更新 | 16413次组卷 | 132卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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（2020北京卷·T7）

2020·北京·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

解题方法

定义法求焦半径

设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）．

A．经过点	B．经过点
C．平行于直线	D．垂直于直线

2020-07-09更新 | 12788次组卷 | 99卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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（2020天津卷·T7）

2020·天津·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

已知两直线位置关系求参数值或范围 待定系数法求双曲线方程

设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-11更新 | 16115次组卷 | 94卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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（2020浙江卷·T8）

2020·浙江·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-09更新 | 12471次组卷 | 70卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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二、填空题

（2020新课标Ⅰ卷·理科T15）

2020·全国·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围

已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

2020-07-08更新 | 34668次组卷 | 91卷引用：第30练 双曲线-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T13）

2020·山东·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

斜率为的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

2020-07-09更新 | 38734次组卷 | 113卷引用：2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷）

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（2020北京卷·T12）

2020·北京·高考真题

填空题-双空题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

2020-07-09更新 | 10135次组卷 | 69卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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（2020江苏卷·T6）

2020·江苏·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.

2020-07-08更新 | 8765次组卷 | 61卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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（2020江苏卷·T14）

2020·江苏·高考真题

填空题-单空题 | 适中(0.65)

真题 名校

在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

2020-07-08更新 | 9218次组卷 | 65卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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（2020天津卷·T12）

2020·天津·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

2020-07-11更新 | 17554次组卷 | 118卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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（2020浙江卷·T15）

2020·浙江·高考真题

填空题-双空题 | 适中(0.65)

真题

设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．

2020-07-09更新 | 11023次组卷 | 72卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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三、解答题

（2020新课标Ⅰ卷·理科T20）

2020·全国·高考真题

解答题-证明题 | 较难(0.4)

真题 名校

已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.

2020-07-08更新 | 65065次组卷 | 135卷引用：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测数学试题

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（2020新课标Ⅱ卷·理科T19）

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围

已知椭圆C₁：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C₁的离心率；
（2）设M是C₁与C₂的公共点，若|MF|=5，求C₁与C₂的标准方程.

2020-07-08更新 | 32549次组卷 | 84卷引用：专题15 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2021年浙江省高考数学命题规律大揭秘【学科网名师堂】

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（2020新课标Ⅲ卷·理科T20）

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4)

真题 名校

解题方法

面积问题

已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

2020-07-08更新 | 40810次组卷 | 81卷引用：西藏自治区林芝市第二高级中学2021届高三上学期第二次月考数学（理）试题

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（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T22）

2020·山东·高考真题

解答题-证明题 | 较难(0.4)

真题 名校

已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

2020-07-09更新 | 45334次组卷 | 102卷引用：2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷）

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（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T21）

2020·海南·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

面积问题

已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

2020-07-11更新 | 31051次组卷 | 69卷引用：2020年海南省高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）

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（2020北京卷·T20）

2020·北京·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4)

真题 名校

解题方法

待定系数法求椭圆方程 定值问题

已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

2020-07-09更新 | 19638次组卷 | 63卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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（2020江苏卷·T18）

2020·江苏·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4)

真题 名校

解题方法

利用椭圆定义解决焦点三角形周长或边长问题

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF₁F₂的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁，S₂，若S₂=3S₁，求点M的坐标．

2020-07-08更新 | 9793次组卷 | 42卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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（2020天津卷·T18）

2020·天津·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

向量共线问题

已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

2020-07-11更新 | 18120次组卷 | 62卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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（2020浙江卷·T21）

2020·浙江·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4)

真题 名校

解题方法

中点弦问题 范围问题

如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

2020-07-09更新 | 15377次组卷 | 64卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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考点 一 直线与圆的方程

【典例】

17-18高一上·山东烟台·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=

A．0

B．1

C．-2

D．-1

2019-10-29更新 | 2505次组卷 | 25卷引用：山东省烟台市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长比为，则圆的方程为　　

A．	B．
C．	D．

2020-02-12更新 | 700次组卷 | 3卷引用：江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

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17-18高二上·陕西西安·期中

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数

A．-2

B．-4

C．-6

D．-8

2018-03-14更新 | 1711次组卷 | 10卷引用：陕西省西安市高新第一中学国际部2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题

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【备考策略】

一、解决直线方程问题应注意的问题：

（1）要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

（2）求直线方程要考虑直线斜率是否存在.

二、求圆的方程的方法

（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.

（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求出圆的方程.

三、有关弦长问题的两种求法

（1）设直线$l$被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，则弦长公式：$\left|AB\right|=2\sqrt{r^2-d^2}$.

（2）若斜率为$k$的直线与圆交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，则$\left|AB\right|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=$

$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\sqrt{{(y_1+y_2)}^2-4y_1{y}_2}$（其中$k\ne 0$），特别地，当$k=0$时，$\left|AB\right|=\left|x_1-x_2\right|$；

当斜率不存在时，$\left|AB\right|=\left|y_1-y_2\right|$.

【类比演练】

2016·天津·高考真题

填空题-单空题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

2016-12-04更新 | 4838次组卷 | 43卷引用：2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）

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19-20高三·全国·课后作业

单选题 | 适中(0.65)

过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ）

A．

B．

C．

D．

2020-08-14更新 | 1190次组卷 | 3卷引用：专题07+解析几何-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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2019·贵州黔东南·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____

2019-04-20更新 | 1587次组卷 | 5卷引用：【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学（文）试题

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考点 二 圆锥曲线的定义、标准方程与性质

【典例】

19-20高三·全国·课后作业

单选题 | 较易(0.85)

已知双曲线与抛物线有公共焦点，到的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-10-27更新 | 827次组卷 | 3卷引用：专题07+解析几何-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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2018·广西桂林·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

直接法解决离心率问题

已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-09-09更新 | 1214次组卷 | 7卷引用：广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟金卷（1）理科数学试题

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2016高二·全国·课后作业

填空题-单空题 | 适中(0.65)

解题方法

定义法求焦半径

已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________.

2020-08-14更新 | 1110次组卷 | 6卷引用：第31练 抛物线-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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【备考策略】

1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法

求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．

2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”

(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．

(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．

3．焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．

【类比演练】

填空题 | 适中(0.65)

已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则的面积为________________．

2015-11-03更新 | 2053次组卷

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2017·重庆·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．

2018-01-16更新 | 2017次组卷 | 16卷引用：2017届重庆市高三4月调研测试（二诊）数学文试卷

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16-17高三上·湖南·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

直接法解决离心率问题

已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-08-09更新 | 2078次组卷 | 16卷引用：2017届湖南师大附中高三上月考三数学（理）试卷

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考点 三 直线与圆锥曲线的位置关系

【典例】

2017·天津·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

2017-08-07更新 | 11396次组卷 | 22卷引用：2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）

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2019·湖南长沙·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

已知抛物线和的焦点分别为，，点，且为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值．

2020-09-02更新 | 2066次组卷 | 6卷引用：【全国百强校】湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二）数学（文科）试题

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【备考策略】

1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．

(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．

2．弦中点问题的解决方法

(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤

(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

3．与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．

【类比演练】

2020高三·全国·专题练习

解答题-问答题 | 较难(0.4)

若双曲线E：的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，点C是双曲线上一点，且，求k，m的值．

2020-01-20更新 | 964次组卷 | 6卷引用：浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

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解答题 | 较难(0.4)

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围 弦长问题

已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

2020-08-16更新 | 700次组卷

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考点四 圆锥曲线中的最值（范围）及弦长有关的问题

【典例】

2019·云南昆明·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

弦长问题

过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.
（1）求；
（2）过，的直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.

2020-09-02更新 | 1980次组卷 | 7卷引用：云南省昆明市第一中学2019-2020学年高三第一次摸底测试数学（理）试题

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17-18高三上·陕西西安·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

范围问题

已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F₂(3，0)，离心率为e.
（1）若e＝，求椭圆的方程；
（2）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围.

2020-12-11更新 | 967次组卷 | 15卷引用：陕西省西安中学2018届高三10月月考数学（理）试题

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【备考策略】

1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法

(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．

(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．

(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

2. 弦中点问题的解法

点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．

3．与弦端点相关问题的解法

解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．

【类比演练】

2014高三·全国·专题练习

解答题-问答题 | 困难(0.15)

真题 名校

图，点P（0，﹣1）是椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A、B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l₁的方程．

2016-12-03更新 | 5141次组卷 | 6卷引用：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用13练习卷

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一、选择题

2009·上海·高考真题

单选题 | 容易(0.94)

真题 名校

解题方法

已知两直线位置关系求参数值或范围

已知直线：与：平行，则的值是（     ）.

A．或

B．或

C．或

D．或

2016-11-30更新 | 6139次组卷 | 49卷引用：2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（上海卷）

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