专题04 解三角形

—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

【高频考点及备考策略】

解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；

（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；

（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.

考向预测：

（1）以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质．

（2）结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形．

1、正弦定理：在$\Delta {\rm A}{\rm B}C$中，$a$、$b$、$c$分别为角${\rm A}$、${\rm B}$、$C$的对边，，则有$\frac{a}{\sin {\rm A}}=\frac{b}{\sin {\rm B}}=\frac{c}{\sin C}=2R$

($R$为$\Delta {\rm A}{\rm B}C$的外接圆的半径).

2、正弦定理的变形公式：①$a=2R\sin {\rm A}$，$b=2R\sin {\rm B}$，$c=2R\sin C$；

②$\sin {\rm A}=\frac{a}{2R}$，$\sin {\rm B}=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$；③$a:b:c=\sin {\rm A}:\sin {\rm B}:\sin C$；④$\frac{a+b+c}{\mathrm{Sin}A+\mathrm{Sin}B+\mathrm{Sin}C}=2R$.

3、三角形面积公式：$S_{\Delta {\rm A}{\rm B}C}=\frac{1}{2}bc\sin {\rm A}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin {\rm B}$．

4、余弦定理：在$\Delta {\rm A}{\rm B}C$中，有$a^2=b^2+c^2-2bc\cos {\rm A}$，

推论：$\cos {\rm A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$；变形：$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$.

【重要结论】

1、解三角形所涉及的其它知识

（1）三角形内角和定理：A+B+C=$\pi$.

（2）三角形边角不等关系：$a>b\iff \angle A>\angle B\iff \sin A>\sin B\iff \cos A<\cos B$.

2、诱导公式在$\Delta ABC$中的应用

（1）$\sin \left(A+B\right)=\sin C;\cos \left(A+B\right)=-\cos C;\tan (A+B)=-\tan C$；

（2）$\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$；

3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状

设a是三角形中最长的边，则

（1）若$b^2+c^2-a^2>0$，则$\Delta ABC$是锐角三角形；

（2）若$b^2+c^2-a^2=0$，则$\Delta ABC$是直角三角形；

（3）若$b^2+c^2-a^2<0$，则$\Delta ABC$是钝角三角形；

或（1）若${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A>0$ ，则$\Delta ABC$是锐角三角形；

（2）若${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A=0$ ，则$\Delta ABC$是直角三角形；

（3）若${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A<0$ ，则$\Delta ABC$是钝角三角形；

4、三角形中，最大的角不小于$\frac{\pi }{3}$，最小的角不大于$\frac{\pi }{3}$.

【易错警示】

1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．

2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．

3．忽视解的多种情况

如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．

4．忽略角的范围

应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．

5．忽视解的实际意义

求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．

一、选择题

2020·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-08更新 | 42190次组卷 | 111卷引用：第01章解三角形(B卷提升篇)-2020-2021学年高二数学必修五同步单元AB卷（人教A版，浙江专用)

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2020·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（       ）

A．

B．2

C．4

D．8

2020-07-08更新 | 25747次组卷 | 53卷引用：第01章解三角形(B卷提升篇)-2020-2021学年高二数学必修五同步单元AB卷（人教A版，浙江专用)

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二、填空题

2020·全国·高考真题

填空题-单空题 | 适中(0.65)

真题 名校

如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

2020-07-08更新 | 34295次组卷 | 92卷引用：第24练 构件几何体的结构，体积-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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2020·江苏·高考真题

填空题-单空题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

利用结论解决平面向量共线问题

在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
   

2020-07-08更新 | 21764次组卷 | 91卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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三、解答题

2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

利用基本不等式求范围问题

中，sin²A－sin²B－sin²C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.

2020-07-08更新 | 66683次组卷 | 135卷引用：陕西省渭南市临渭区尚德中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题

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2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.

2020-07-08更新 | 40671次组卷 | 88卷引用：安徽省阜阳市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

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2020·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

2020-07-08更新 | 35552次组卷 | 62卷引用：甘肃省白银市会宁县第二中学2019--2020学年度第二学期高二期末数学试题

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2020·山东·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

劣构性试题

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

2020-07-09更新 | 46600次组卷 | 100卷引用：2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷）

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2020·北京·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

边角转化 劣构性试题

在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

2020-07-09更新 | 20343次组卷 | 82卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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2020·江苏·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

2020-07-08更新 | 29078次组卷 | 105卷引用：2020年江苏省高考数学试卷

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2020·天津·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

已知三角函数值求函数值 边角转化

在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．

2020-07-11更新 | 20154次组卷 | 88卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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2020·浙江·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题 边角转化

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

2020-07-09更新 | 32573次组卷 | 93卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题

【典例】

18-19高三上·山东临沂·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若成等差数列，的面积为，求．

2018-12-08更新 | 2527次组卷 | 11卷引用：【市级联考】山东省临沂市2019届高三上学期期中考试数学文试题

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【备考策略】

利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.

【类比演练】

2019·广东湛江·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

边角转化

在中，内角所对的边分别为，且，则

A．

B．

C．

D．

2019-04-30更新 | 2018次组卷 | 5卷引用：【市级联考】广东省湛江市2019届高三高考模拟测试（二）理科数学试题

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考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题

【典例】

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

边角转化

在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角A；
（2）若，求面积的最大值.

2020-08-13更新 | 1236次组卷 | 3卷引用：四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题

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【备考策略】

利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.

【类比演练】

19-20高三上·云南昆明·阶段练习

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用基本不等式求范围问题

三角形中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角的大小；
（2）若为的中点，且，求的最大值

2020-12-12更新 | 1975次组卷 | 19卷引用：2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（文）试题

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2019·吉林·模拟预测

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

已知的内角、、的对边分别为、、，满足且．
（1）求角；
（2）求周长L的最大值．

2019-05-18更新 | 1687次组卷 | 4卷引用：【全国百强校】吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试数学（理）试题

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考点三 利用正、余弦定理解平面四边形

【典例】

【备考策略】

利用正余弦定理解四边形的解题思路是：

1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；

2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.

【类比演练】

19-20高三·宁夏银川·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

如图，在四边形中，

（1）求的正弦值；
（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.

2019-11-04更新 | 2160次组卷 | 6卷引用：宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学年高三11月月考数学（理）试题

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考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题

【典例】

2017·福建·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

如图，有一码头和三个岛屿，，，.
（1）求两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.

2017-04-11更新 | 1270次组卷 | 7卷引用：2017届福建省高三4月单科质量检测数学理试卷

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【备考策略】

解三角形应用题的两种情形

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形．

（3）设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的角．

（4）涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解．

【类比演练】

19-20高三·全国·课后作业

填空题-单空题 | 适中(0.65)

解题方法

利用基本不等式求范围问题

为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为_________.

2020-08-13更新 | 747次组卷 | 1卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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一、选择题

2017·全国·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

边角转化

已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinC＝，则△ABC面积的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-08-13更新 | 886次组卷 | 5卷引用：河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试题

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15-16高二上·河南安阳·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

若△ABC中，，则此三角形的形状是（       ）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

2020-03-18更新 | 3948次组卷 | 18卷引用：2015-2016学年河南省安阳市滑县高二上学期期末理科数学试卷

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15-16高二下·广东茂名·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=

A．5

B．

C．2

D．1

2016-12-04更新 | 1134次组卷 | 4卷引用：2015-2016学年广东高州一中高二下学第一次月考理科数学试卷

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单选题 | 容易(0.94)

设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则

A．

B．

C．

D．

2020-08-15更新 | 753次组卷

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19-20高三·全国·课后作业

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用基底法解决平面向量基本定理问题

已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点M为△ABC的重心．若a＋b＋＝，则C＝（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-09-22更新 | 950次组卷 | 2卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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19-20高三·全国·课后作业

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

边角转化

已知等腰△ABC满足AB＝AC，BC＝2AB，点D为BC边上的一点且AD＝BD，则sin∠ADB的值为（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-08-15更新 | 791次组卷 | 1卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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二、填空题

19-20高三·全国·课后作业

填空题-单空题 | 较易(0.85)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²＝3b²＋3c²－2bcsinA，则C等于_________.

2020-08-13更新 | 881次组卷 | 2卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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19-20高三·全国·课后作业

填空题-单空题 | 较易(0.85)

为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为__________.

2020-08-13更新 | 705次组卷 | 1卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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三、解答题

19-20高三·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

三角恒等变换与解三角形结合问题

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin²＋sinBsinC＝.
（1）求角A．
（2）若a＝，b＝2，求ABC的面积．

2020-08-13更新 | 818次组卷 | 1卷引用：专题04+解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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2017·福建·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

如图，有一码头和三个岛屿，，，.
（1）求两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.

2017-04-11更新 | 1270次组卷 | 7卷引用：2017届福建省高三4月单科质量检测数学理试卷

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