专题18 不等式选讲

【要点提炼】

1、(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.

(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.

2、定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

3、算术—几何平均不等式

定理1：设a，b∈R，则a²＋b²≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.

定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立.

定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a₁，a₂，$\cdots$，a_n为n个正数，则$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$≥$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$，当且仅当a₁＝a₂＝$\cdots$＝a_n时，等号成立.

考向

考向一　含有绝对值的不等式的解法

典例1　设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0.

(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.

解　(1)当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1，

即|2x－3|＋5x≥5x＋1，

即|2x－3|≥1，解得x≥2或x≤1，

∴不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}.

(2)由f(x)≤0，得|2x－a|＋5x≤0，

即或

又a>0，∴不等式f(x)≤0的解集为，

由题意得－＝－1，解得a＝3.

规律方法　含绝对值不等式的解法

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点；

②划区间、去绝对值符号；

③分别解去掉绝对值的不等式；

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

拓展练习1　(2020·福建省福州师范大学附中模拟)解不等式|x－1|＋|x－3|≤x＋1.

解　(1)当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，x≥1.

又∵x<1，∴x∈∅；

(2)当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，x≥1.

又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.

(3)当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，x≤5.

又∵x>3，∴3<x≤5.

综上可得，1≤x≤5.

∴原不等式的解集为{x|1≤x≤5}.

考向二　含绝对值不等式的恒成立(有解)问题

典例2　已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋2|，g(x)＝|x＋2|＋|x－2a|＋a.

(1)求不等式f(x)>4的解集；

(2)对∀x₁∈R，∃x₂∈R，使得f(x₁)≥g(x₂)成立，求实数a的取值范围.

解　(1)因为f(x)＝

所以f(x)>4，即为或

或解得x<－或x>1，

所以不等式的解集为∪(1，＋∞).

(2)由(1)知，当x＝－1时，f(x)_min＝2，g(x)＝|x＋2|＋|x－2a|＋a≥|(x＋2)－(x－2a)|＋a＝|2a＋2|＋a，

由题意，对∀x₁∈R，∃x₂∈R，使得f(x₁)≥g(x₂)成立，

故f(x)_min≥g(x)_min，

即2≥|2a＋2|＋a，所以a－2≤2a＋2≤2－a，

解得－4≤a≤0，

所以实数a的取值范围为[－4，0].

规律方法　绝对值不等式的恒成立(有解)问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式.

(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)_min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)_max<a；f(x)>a有解⇔f(x)_max>a；f(x)<a有解⇔f(x)_min<a；f(x)>a无解⇔f(x)_max≤a；f(x)<a无解⇔f(x)_min≥a.

(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值.

拓展练习2　(2020·江西省吉安、抚州、赣州模拟)已知函数f(x)＝|3x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|3x＋1|.

(1)当g(x)≥10时，恒有f(x)≥9，求a的最小值；

(2)当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.

解　(1)由g(x)≥10，得3x＋1≥10或3x＋1≤－10，

解得x≥3或x≤－.

由f(x)≥9，得|3x－a|≥9－a，解得x≥3或x≤.

依题意有≥－，即a≥－1.

故a的最小值为－1.

(2)f(x)＋g(x)＝|3x－a|＋|3x＋1|＋a≥|3x－a－3x－1|＋a＝|a＋1|＋a，

当且仅当(3x－a)(3x＋1)≤0时等号成立.

解不等式|a＋1|＋a≥3，得a≥1，

所以实数a的取值范围是[1，＋∞).

考向三　不等式的证明

典例3　已知a，b，c为正数，f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|.

(1)若a＝b＝c＝1，求函数f(x)的最小值；

(2)若f(0)＝1且a，b，c不全相等，求证：b³c＋c³a＋a³b>abc.

(1)解　因为a＝b＝c＝1，

所以f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|＝2|x＋1|＋|x－1|，

方法一　由上可得，f(x)＝

所以，当x＝－1时，函数f(x)的最小值为2.

方法二　f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|＝|x＋1|＋|x＋1|＋|x－1|≥|x＋1|＋|x＋1－x＋1|＝2＋|x＋1|≥2，

当且仅当

即x＝－1时，函数f(x)取得最小值2.

(2)证明　因为a，b，c为正数，所以要证b³c＋c³a＋a³b>abc，即证明＋＋>1，

方法一　因为＋＋＋a＋b＋c＝＋a＋＋b＋＋c≥2＋2＋2＝2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时取等号.

又因为f(0)＝1，即a＋b＋c＝1且a，b，c不全相等，

所以＋＋>1，即b³c＋c³a＋a³b>abc.

方法二　因为(a＋b＋c)≥(b＋c＋a)²，当且仅当＝＝时取等号，又因为f(0)＝1，即a＋b＋c＝1且a，b，c不全相等，

所以＋＋>1，即b³c＋c³a＋a³b>abc.

规律方法　(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.

(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.

(3)对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).

(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.

拓展练习3　(2020·全国Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.

(1)证明：ab＋bc＋ca<0；

(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.

证明　(1)∵(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

∴ab＋bc＋ca＝－(a²＋b²＋c²).

∵a，b，c均不为0，则a²＋b²＋c²>0，

∴ab＋bc＋ca＝－(a²＋b²＋c²)<0.

(2)不妨设max{a，b，c}＝a，

由a＋b＋c＝0，abc＝1可知，a>0，b<0，c<0，

∵a＝－b－c，a＝，

∴a³＝a²·a＝＝≥＝4.

当且仅当b＝c时，取等号，

∴a≥，即max{a，b，c}≥.

【专题拓展练习】

2018高三·全国·专题练习

解答题-问答题 | 容易(0.94)

名校

已知函数．
（1）解不等式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

2018-12-30更新 | 1280次组卷 | 8卷引用：【全国百强校】四川省成都市第七中学2018届高考模拟数学（理）试题一

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2018·广西·二模

解答题-问答题 | 容易(0.94)

名校

选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.

2018-04-15更新 | 3395次组卷 | 26卷引用：广西2018届高三下学期第二次模拟数学（理）试题

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19-20高三上·云南昆明·阶段练习

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.

2019-11-06更新 | 888次组卷 | 8卷引用：云南省师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学（文）试题

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2021·贵州遵义·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

分类讨论法解绝对值不等式

设函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．

2020-10-17更新 | 765次组卷 | 3卷引用：贵州省遵义市2021届高三第一次联考数学文科试题

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