专题01 三角函数的图象与性质
【要点提炼】
1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 | y＝sin x | y＝cos x | y＝tan x |
图象 |  |  |  |
递增 区间 |  | [2kπ－π，2kπ] |  |
递减 区间 |  | [2kπ，2kπ＋π] | |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
对称 中心 | (kπ，0) |  |  |
对称轴 | x＝kπ＋  | x＝kπ | |
周期性 | 2π | 2π | π |
2.三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)求得.
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin x
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
y＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
考点一 三角函数的图像与性质
考向一 三角函数的定义与同角关系式
【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，
，
，
，
是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是( )
A. B. C. D.
(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝
，则|a－b|＝( )
A.
B.
C.
D.1
解析 (1)设点P的坐标为(x，y)，且tan α＜cos α＜sin α，∴
＜x＜y，解之得－1＜x＜0，且0＜y＜1.故点P(x，y)所在的圆弧是.
(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝
，sin α＝±
，得|tan α|＝.
由题意知|tan α|＝
，所以|a－b|＝.
答案 (1)C (2)B
探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.
2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( )
A.
B.
C.0或 D.0或
(2)(2020·济南模拟)已知cos
－sin α＝
，则sin
＝________.
解析 (1)由题意可得
解得
或
所以tan θ＝0，或tan θ＝.故选C.
(2)∵cos－sin α＝
cos α－
sin α－sin α＝cos α－
sin α＝
sin
＝，
∴sin
＝－
，
∴sin＝sin
＝sin＝－.
答案 (1)C (2)－
考向二 三角函数的图象及图象变换
【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A.sin
B.sin
C.cos
D.cos
(2)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g
＝
，则f
＝( )
A.－2 B.－ C. D.2
解析 (1)由图象知
＝
－
＝，得T＝π，所以ω＝
＝2.又图象过点
，由“五点法”，结合图象可得φ＋
＝π，即φ＝，所以sin(ωx＋φ)＝sin
，故A错误；由sin＝sin
＝sin知B正确；由sin＝sin
＝cos知C正确；由sin＝cos＝cos
＝－cos知D错误.综上可知，正确的选项为BC.
(2)由f(x)是奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0.
所以g(x)＝Asin
，且g(x)最小正周期为2π，
可得
＝2π，故ω＝2，所以g(x)＝Asin x，
g＝Asin
＝
A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin
＝.
答案 (1)BC (2)C
探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.
【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的可能取值为( )
A.－
B.－
C.
D.
(2)(2020·长沙质检)函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g(0)＝g
＝，函数y＝f(x)的图象可由y＝g(x)图象向右平移个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝2sin 2x B.f(x)＝2sin
C.f(x)＝－2sin 2x D.f(x)＝－2sin
解析 (1)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＋1的图象.由g(x1)g(x2)＝9，知g(x1)＝3，g(x2)＝3，所以2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.由x1，x2∈[－2π，2π]，得x1，x2的取值集合为
.当x1＝－
，x2＝
时，2x1－x2＝－；当x1＝，x2＝－时，2x1－x2＝.故选AD.
(2)由函数g(x)的图象及g(0)＝g＝，知直线x＝
为函数g(x)的图象的一条对称轴，所以
＝－＝，则T＝π，所以ω＝＝2，所以g(x)＝Asin(2x＋φ)，由题图可知为“五点法”作图中的第三点，则2×＋φ＝π，解得φ＝，由g(0)＝，得Asin＝，又A＞0，所以A＝2，则g(x)＝2sin，所以g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为f(x)＝2sin
＝2sin 2x，故选A.
答案 (1)AD (2)A
考向三 三角函数的性质
【典例3】 (1)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
(2)(2020·天一大联考)已知f(x)＝cos
(ω＞0)，f
＝f
，且f(x)在区间
内有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.
B.
C.8 D.4
(3)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.
解析 (1)f(x)＝cos x－sin x＝cos
，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以
解得a≤.所以0<a≤，所以a的最大值是.
(2)由于f＝f，且f(x)在区间内有最小值，∴f(x)在x＝
＝处取得最小值.
因此ω－＝2kπ＋π，即ω＝8k＋，k∈Z.①
又函数f(x)在区间无最大值，且ω＞0，
∴T＝
≥－＝，∴0＜ω≤12.②
由①②知ω＝.
(3)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin
，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤
，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝
.
答案 (1)A (2)B (3)
探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.
2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间).
【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A.φ＝
B.
是f(x)的图象的一个对称中心
C.f(φ)＝－2
D.x＝－是f(x)图象的一条对称轴
(2)(多选题)关于函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.π是f(x)的最小正周期
C.f(x)在
上单调递增
D.当x∈
时，f(x)的最大值为2
解析 (1)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2sin
＝2sin
的图象，∵其关于y轴对称，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z.又0<φ<π，∴当k＝0时，φ＝，故A正确；f(x)＝2sin
，f
＝0，则是f(x)的图象的一个对称中心，故B正确；因为f(φ)＝f＝2，故C错误；f
＝2，则x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故D正确.故选ABD.
(2)f(x)＝|cos x|＋cos|2x|＝|cos x|＋cos 2x＝|cos x|＋2cos2x－1＝2|cos x|2＋|cos x|－1，由f(－x)＝2|cos(－x)|2＋|cos(－x)|－1＝f(x)，且函数f(x)的定义域为R，得f(x)为偶函数，故A正确.
由于y＝|cos x|的最小正周期为π，可得f(x)的最小正周期为π，故B正确.
令t＝|cos x|，得函数f(x)可转化为g(t)＝2t2＋t－1，t∈[0，1]，
易知t＝|cos x|在
上单调递增，在
上单调递减，
由t∈[0，1]，g(t)＝2
－
，可得g(t)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故C错误.
根据f(x)在
上递增，在
上递减，
∴f(x)在x＝π时取到最大值f(π)＝2，则D正确.
答案 (1)ABD (2)ABD
考向四 三角函数性质与图象的综合应用
【典例4】 (2020·临沂一预)在①f(x)的图象关于直线x＝
对称，②f(x)＝cos ωx－sin ωx，③f(x)≤f(0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.
设函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)
，_____________________________.
是否存在正整数ω，使得函数f(x)在
上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，代入x＝，
解得φ＝kπ－，k∈Z.
因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝2cos
.
当x∈时，ωx＋∈
.
若函数f(x)在上单调，则有
＋≤π，
解得0<ω≤
.
所以存在正整数ω＝1，使得函数f(x)在上是单调的.
若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2cos
＝2cos(ωx＋φ)，
且0≤φ≤，所以φ＝.
当x∈时，ωx＋∈
.
若函数f(x)在上单调，则有＋≤π，
解得0<ω≤.
所以存在正整数ω＝1，使得函数f(x)在上是单调的.
若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
因为f(x)≤f(0)恒成立，即f(x)max＝f(0)＝2cos φ＝2，
所以cos φ＝1.
因为0≤φ≤，所以φ＝0，所以f(x)＝2cos ωx.
当x∈时，ωx∈
.
若函数f(x)在上单调，则有≤π，解得0<ω≤2.
所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f(x)在上是单调的.
探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝
.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝
.
【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f(x)＝2cos2ω1x＋sin ω2x.
(1)求f(0)的值；
(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在
上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 (1)f(0)＝2cos20＋sin 0＝2.
(2)选择条件①.f(x)的一个周期为π.
当ω1＝1，ω2＝2时，f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝(cos 2x＋1)＋sin 2x＝
＋1＝sin
＋1.
因为x∈，所以2x＋∈
.
所以－1≤sin≤1，则1－≤f(x)≤1＋.
当2x＋＝－，即x＝－
时，f(x)在上取得最小值1－.
选择条件②.f(x)的一个周期为2π.
当ω1＝1，ω2＝1时，f(x)＝2cos2x＋sin x＝2(1－sin2x)＋sin x＝－2
＋
.
因为x∈，所以sin x∈
.
所以当sin x＝－1，即x＝－时，f(x)在上取得最小值－1.
【专题拓展练习】
一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题）
的最小正周期为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求含cosx的函数的最小正周期解读 二倍角的余弦公式解读
的图象向左平移个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 诱导公式五、六解读 求图象变化前（后）的解析式解读
，
是函数
两个相邻的极值点，则
（ ）| A．3 | B． | C． | D． |
【知识点】 正、余弦型三角函数图象的应用解读 根据极值点求参数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则函数的单调递增区间是（ ）A． | B． |
C． | D．  |
的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点
成中心对称，当
时m的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
，
，则（ ）A． 的最大值为 | B．在区间 上只有个零点 |
| C．的最小正周期为 | D． 为图象的一条对称轴 |
在
上具有单调性，且满足
，
，则
的取值共有（
的部分图象如图所示，将函数
的图象向左平移个单位长度后得到
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数 |
| B．函数的最小正周期为 |
C．函数的图象的对称轴为直线 |
D．函数的单调递增区间为 |
，其中
，若
对一切恒成立，则以下结论：①函数的图象关于
对称；②函数的单调递增区间是
；③函数既不是奇函数也不是偶函数；④函数的图象关于
对称．其中正确的说法是（ ）| A．①②③ | B．②④ | C．③④ | D．①③④ |
中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为
，对于以下四个命题：①
；②
；③
；④
.其中正确的是（ ）
| A．①② | B．①④ | C．②③ | D．③④ |
，则（ ）| A．是奇函数 | B．是周期函数且最小正周期为 |
C．的值域是 | D．当 时 |
，则（ ）A． | B．的最大值为 |
C．在 单调递增 | D．在 单调递减 |
)的图象向左平移
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）| A．g(x)的最小正周期为π | B．g(x)在区间[0，]上单调递减 |
| C．x=是函数g(x)的对称轴 | D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣ |
A．函数 的最大值是 |
B．函数 的值域为 |
C．函数 在上单调递增，则 的取值范围是 |
D．函数 的最大值为，最小值为 ，若 ，则 |
的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． | B． 是函数， 的一个对称中心 |
C． | D．函数在区间 上是减函数 |
【知识点】 由图象确定正（余）弦型函数解析式解读
