专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积

【要点提炼】

1.空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；

②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；

③圆台的表面积S＝π(r′²＋r²＋r′l＋rl)；

④球的表面积S＝4πR².

(2)柱体、锥体和球的体积公式：

①V_柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

②V_锥体＝$\frac{1}{3}$Sh(S为底面面积，h为高)；

③V_球＝$\frac{4}{3}$πR³.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.

考点

考向一　空间几何体的表面积

【典例1】 (1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的$\frac{1}{8}$球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　)

A.24－3π B.24－π

C.24＋π D.24＋5π

(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　)

A.$\sqrt{2}$π B.(1＋$\sqrt{2}$)π

C.2$\sqrt{2}$π D.(2＋$\sqrt{2}$)π

解析　(1)由题意知该几何体的表面积S＝6×2²－3×$\frac{1}{4}$×π×2²＋$\frac{1}{8}$×4×π×2²＝24－π.故选B.

(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为$\sqrt{2}$，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×$\sqrt{2}$＋π×1²＝($\sqrt{2}$＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}$，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×1＝$\sqrt{2}$π.综上可知，形成几何体的表面积是($\sqrt{2}$＋1)π或$\sqrt{2}$π.故选AB.

答案　(1)B　(2)AB

探究提高　1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.

2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【拓展练习1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O₁，O₂，过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A.12$\sqrt{2}$π B.12π

C.8$\sqrt{2}$π D.10π

(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.$\sqrt{3}$

解析　(1)因为过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2$\sqrt{2}$，底面圆的直径为2$\sqrt{2}$.所以S_表面积＝2×π×($\sqrt{2}$)²＋2π×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$＝12π.

(2)如图，设圆柱底面半径为r(0＜r＜2)，高为h，则$\frac{h}{4sin60°}$＝$\frac{2r}{2}$，

即h＝$\sqrt{3}$(2－r)，其侧面积为S＝2$\sqrt{3}$πr(2－r)＝2$\sqrt{3}$π(－r²＋2r)，根据二次函数性质，当r＝1时，侧面积取得最大值，此时h＝$\sqrt{3}$.

答案　(1)B　(2)D

考向二　空间几何体的体积

【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝$\frac{ð}{2}$，SB＝4，SC＝2$\sqrt{13}$，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是(　　)

A.4 B.6 C.4$\sqrt{3}$ D.6$\sqrt{3}$

(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD中，点A是CD的中点，PA＝AD，△ABC为等边三角形，边长为6，PB＝8，PC＝10，则△PBD的面积为________，四面体PABC的体积为________.

解析　(1)∵∠ABC＝$\frac{ð}{2}$，AB＝2，BC＝6，∴AC＝$\sqrt{AB2BC2}$＝$\sqrt{2262}$＝2$\sqrt{10}$.∵∠SAB＝$\frac{ð}{2}$，AB＝2，SB＝4，∴AS＝$\sqrt{SB2AB2}$＝$\sqrt{4222}$＝2$\sqrt{3}$.由SC＝2$\sqrt{13}$，得AC²＋AS²＝SC²，∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS为三棱锥S－ABC的高，∴V_{三棱锥S－ABC}＝$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×6×2$\sqrt{3}$＝4$\sqrt{3}$.故选C.

(2)因为△ABC为等边三角形，边长为6，点A为CD的中点，所以AD＝AB＝6，所以△ADB为等腰三角形.

又∠DAB＝180°－∠CAB＝120°，

所以∠ADB＝$\frac{1}{2}$(180°－120°)＝30°，

所以∠ADB＋∠DCB＝90°，所以∠DBC＝90°，所以CB⊥DB，所以DB＝$\sqrt{CD2BC2}$＝$\sqrt{14436}$＝6$\sqrt{3}$.因为PB＝8，PC＝10，BC＝6，所以PC²＝PB²＋BC²，所以CB⊥PB.又DB∩PB＝B，DB⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD.因为DA＝AC＝AP＝6，所以△PDC为直角三角形，且∠DPC＝90°，所以PD＝$\sqrt{CD2PC2}$＝$\sqrt{144100}$＝2$\sqrt{11}$.又DB＝6$\sqrt{3}$，PB＝8，所以DB²＝PD²＋PB²，即△PBD为直角三角形，所以S_△PBD＝$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{11}$＝8$\sqrt{11}$.因为点A为DC的中点，所以V_P－ABC＝$\frac{1}{2}$V_P－CBD＝$\frac{1}{2}$V_C－PBD＝$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△PBD×CB＝$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×8$\sqrt{11}$×6＝8$\sqrt{11}$，即四面体PABC的体积为8$\sqrt{11}$.

答案　(1)C　(2)8$\sqrt{11}$　8$\sqrt{11}$

探究提高　1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)

A.π B.$\frac{3ð}{4}$ C.$\frac{ð}{2}$ D.$\frac{ð}{4}$

(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为(　　)

A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{2}{3}$ C.1 D.$\frac{4}{3}$

解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝$\frac{1}{2}$.

∴底面圆半径r＝AM＝$\sqrt{OA2OM2}$＝$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故圆柱体积V＝π·r²·h＝π·$\left(\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill \end{array}\right)$${}^2$×1＝$\frac{3ð}{4}$.

(2)∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，

∴ED⊥AD.

∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，

∴AD⊥平面CDEF.

易知FC＝$\frac{ED}{2}$＝1，V_A－BEF＝V_ABCDEF－V_F－ABCD－V_A－DEF.

∵V_E－ABCD＝ED×S_{正方形ABCD}×$\frac{1}{3}$＝2×2×2×$\frac{1}{3}$＝$\frac{8}{3}$，V_B－EFC＝BC×S_△EFC×$\frac{1}{3}$

＝2×2×1×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$＝$\frac{2}{3}$，

∴V_ABCDEF＝$\frac{8}{3}$＋$\frac{2}{3}$＝$\frac{10}{3}$.又V_F－ABCD＝FC×S_{正方形ABCD}×$\frac{1}{3}$＝1×2×2×$\frac{1}{3}$＝$\frac{4}{3}$，

V_A－DEF＝AD×S_△DEF×$\frac{1}{3}$＝2×2×2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$＝$\frac{4}{3}$，V_A－BEF＝$\frac{10}{3}$－$\frac{4}{3}$－$\frac{4}{3}$＝$\frac{2}{3}$.故选B.

答案　(1)B　(2)B

考向三　多面体与球的切、接问题

【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A₁B₁C₁内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA₁＝3，则V的最大值是(　　)

A.4π B.$\frac{9ð}{2}$ C.6π D.$\frac{32ð}{3}$

(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________；内切球的体积V＝________.

解析　(1)由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.

要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.

则$\frac{1}{2}$×6×8＝$\frac{1}{2}$×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.

∴2r＝4＞3不合题意.

球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.

由2R＝3，即R＝$\frac{3}{2}$.故球的最大体积V＝$\frac{4}{3}$πR³＝$\frac{9}{2}$π.

(2)在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，

则(2R)²＝AB²＋AD²＋AP²＝16＋16＋9＝41，

因此R＝$\frac{\sqrt{41}}{2}$.

依题意Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，

故内切球的半径r＝$\frac{1}{2}$(3＋4－5)＝1，则V＝$\frac{4}{3}$πr³＝$\frac{4}{3}$π.

答案　(1)B　(2)$\frac{\sqrt{41}}{2}$　$\frac{4}{3}$π

探究提高　1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1，点D为侧棱BB₁上的动点.若△ADC₁周长的最小值为$\sqrt{3}$＋$\sqrt{5}$，则三棱锥C₁－ABC的外接球的体积为(　　)

A.2π B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$π C.$\frac{5ð}{2}$ D.3π

(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC＝$\sqrt{3}$，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________.

解析　(1)将侧面ABB₁A₁和侧面BCC₁B₁展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB₁的中点时，△ADC₁的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则2$\sqrt{1x2}$＋$\sqrt{24x2}$＝$\sqrt{3}$＋$\sqrt{5}$，解得x＝$\frac{1}{2}$，所以CC₁＝1，AC₁＝$\sqrt{3}$.又三棱锥C₁－ABC的外接球的球心为AC₁的中点，所以外接球的半径R＝$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是三棱锥C₁－ABC的外接球的体积为V＝$\frac{4}{3}$πR³＝$\frac{4}{3}$π×$\left(\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill \end{array}\right)$${}^3$＝$\frac{\sqrt{3}}{2}$π.

(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝$\frac{1212\sqrt{3}2}{2\times 1\times 1}$＝－$\frac{1}{2}$，则sin A＝$\frac{\sqrt{3}}{2}$.所以S_△ABC＝$\frac{1}{2}$AB·ACsin A＝$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$＝$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且△ABC的外接圆半径DA＝$\frac{BC}{2sinA}$＝$\frac{\sqrt{3}}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}$＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝$\sqrt{OA2DA2}$＝$\sqrt{2212}$＝$\sqrt{3}$.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为$\sqrt{3}$＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×($\sqrt{3}$＋2)＝$\frac{32\sqrt{3}}{12}$.

答案　(1)B　(2)$\frac{32\sqrt{3}}{12}$

【专题拓展练习】

20-21高三上·安徽池州·期末

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（        ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-30更新 | 1156次组卷 | 5卷引用：安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末文科数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

21-22高三上·贵州贵阳·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-29更新 | 1817次组卷 | 7卷引用：贵州省贵阳市2021届高三上学期期末检测考试数学（理）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·陕西西安·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

三棱柱中，棱两两垂直，，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（       ）

A．8

B．

C．

D．

2021-01-29更新 | 716次组卷 | 2卷引用：陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

20-21高三上·安徽阜阳·期末

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用三视图求直观图的体积

某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-01-27更新 | 657次组卷 | 7卷引用：安徽省阜阳市2020-2021学年高三上学期教学质量统测文科数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·海南·二模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

几何体表面积的求法

用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-27更新 | 2276次组卷 | 7卷引用：海南省2021届高三年级第二次模拟考试数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

21-22高三上·吉林四平·期末

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用三视图求直观图的体积

一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（       ）

A．

B．8

C．

D．12

2021-01-22更新 | 597次组卷 | 4卷引用：吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考2021届高三上学期期末数学（理）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

20-21高三上·安徽宣城·期末

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-27更新 | 657次组卷 | 4卷引用：安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

21-22高三上·宁夏石嘴山·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-23更新 | 707次组卷 | 8卷引用：宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试数学（文）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·江西吉安·模拟预测

单选题 | 容易(0.94)

名校

如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（       ）

A．2

B．1

C．高

D．考

2021-01-22更新 | 3884次组卷 | 18卷引用：江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

20-21高三上·天津滨海新·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何体表面积的求法 几何体的“内切”，“外接”球问题

在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-20更新 | 3176次组卷 | 18卷引用：天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·安徽淮北·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-19更新 | 1106次组卷 | 8卷引用：安徽省淮北市2021届高三一模数学（文）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2020高三·全国·专题练习

单选题 | 较易(0.85)

已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-18更新 | 582次组卷 | 6卷引用：综合练习模拟卷05-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2020高三·全国·专题练习

单选题 | 容易(0.94)

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-18更新 | 488次组卷 | 4卷引用：综合练习模拟卷03-2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·四川凉山·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-31更新 | 554次组卷 | 5卷引用：四川省凉山州2021届高三一模数学（理）试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷

2021·上海闵行·一模

单选题 | 较难(0.4)

名校

如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-23更新 | 1910次组卷 | 10卷引用：上海市闵行区2021届高三上学期一模数学试题

相似题 纠错 收藏 详情 加入试卷