专题10 圆锥曲线的方程与性质

【要点提炼】

1.圆锥曲线的定义

（1）椭圆：|MF₁|＋|MF₂|＝2a(2a＞|F₁F₂|)；

（2）双曲线：||MF₁|－|MF₂||＝2a(2a＜|F₁F₂|)；

（3）物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).

温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.

2.圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆：$\frac{x^2}{a^2}$＋$\frac{y^2}{b^2}$＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或$\frac{y^2}{a^2}$＋$\frac{x^2}{b^2}$＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；

（2）曲线：$\frac{x^2}{a^2}$－$\frac{y^2}{b^2}$＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或$\frac{y^2}{a^2}$－$\frac{x^2}{b^2}$＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；

（3）物线：y²＝2px，y²＝－2px，x²＝2py，x²＝－2py(p＞0).

3.圆锥曲线的重要性质

（1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a²＝b²＋c²；离心率为e＝$\frac{c}{a}$＝$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$.

②在双曲线中：c²＝a²＋b²；离心率为e＝$\frac{c}{a}$＝$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$.

（2）曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线$\frac{x^2}{a^2}$－$\frac{y^2}{b^2}$＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±$\frac{b}{a}$x；焦点坐标F₁(－c，0)，F₂(c，0).

②双曲线$\frac{y^2}{a^2}$－$\frac{x^2}{b^2}$＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±$\frac{a}{b}$x，焦点坐标F₁(0，－c)，F₂(0，c).

（3）物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F$(\frac{p}{2},0)$，准线方程x＝－$\frac{p}{2}$.

②抛物线x²＝2py(p>0)的焦点F$(0,\frac{p}{2})$，准线方程y＝－$\frac{p}{2}$.

4.弦长问题

（1）线与圆锥曲线相交的弦

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)时，|AB|＝$\sqrt{1+k^2}$|x₁－x₂|＝$\sqrt{1+k^2}\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}$＝$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\sqrt{{(y_1+y_2)}^2-4y_1{y}_2}$.

（2）抛物线焦点的弦

抛物线y²＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁x₂＝$\frac{p^2}{4}$，y₁y₂＝－p²，弦长|AB|＝x₁＋x₂＋p.

考点

考向一　圆锥曲线的定义及标准方程

2020·浙江·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-09更新 | 12464次组卷 | 70卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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2019·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

数形结合思想

已知椭圆C的焦点为，过F₂的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A．

B．

C．

D．

2019-06-09更新 | 67269次组卷 | 160卷引用：河北省张家口市第四中学2018-2019学年高二6月月考数学（理）试题

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2020·天津·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

已知两直线位置关系求参数值或范围 待定系数法求双曲线方程

设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-11更新 | 16111次组卷 | 94卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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19-20高三下·湖南长沙·阶段练习

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

定义法求焦半径

已知抛物线的焦点，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与直线交于、两点在的上方），若，则抛物线的方程为 _____.

2020-03-26更新 | 649次组卷 | 6卷引用：2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月“停课不停学”阶段性检测数学(文)试题

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考向二　圆锥曲线的几何性质

2020·全国·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围

已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

2020-07-08更新 | 34663次组卷 | 91卷引用：第30练 双曲线-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）

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2019·全国·高考真题

填空题-单空题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知双曲线C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

2019-06-09更新 | 40845次组卷 | 98卷引用：上海市青浦中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题

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多选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用椭圆定义解决焦点三角形周长或边长问题 直接法解决离心率问题

(多选题)已知椭圆，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则椭圆的离心率为

B．若椭圆的离心率为，则

C．若点分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且与椭圆交于两点，则的周长为

D．若点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为.

2021-04-02更新 | 813次组卷

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2020高三下·山东·专题练习

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

直接法解决离心率问题

（多选）双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线C的离心率为	B．双曲线与双曲线C的渐近线相同
C．若，则的面积为	D．的最小值为2

2020-04-15更新 | 644次组卷 | 8卷引用：强化卷04（3月）-冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版）

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考向三　有关弦的中点、弦长问题

2019·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

2019-06-09更新 | 42389次组卷 | 110卷引用：河北省张家口市第四中学2018-2019学年高二6月月考数学（理）试题

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2020·山东·模拟预测

解答题-问答题 | 较难(0.4)

解题方法

弦长问题 面积问题

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点.
（1）若的面积为，求直线的方程；
（2）若，求.

2020-09-09更新 | 2003次组卷 | 5卷引用：山东省2020届高考压轴模拟考试数学试题

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考向四　与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题

2020·北京·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4)

真题 名校

解题方法

待定系数法求椭圆方程 定值问题

已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

2020-07-09更新 | 19630次组卷 | 63卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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2020·天津·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

解题方法

向量共线问题

已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

2020-07-11更新 | 18113次组卷 | 62卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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【专题拓展练习】

一、单选题

17-18高二上·河北沧州·期末

单选题 | 容易(0.94)

名校

双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-02-04更新 | 1130次组卷 | 12卷引用：河北省黄骅中学2017－2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

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20-21高二上·广西百色·期末

单选题 | 容易(0.94)

抛物线的焦点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-16更新 | 540次组卷 | 2卷引用：广西百色市2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题

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20-21高三上·安徽·期末

单选题 | 容易(0.94)

解题方法

直接法解决离心率问题

若双曲线：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则的离心率为（        ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-30更新 | 621次组卷 | 7卷引用：安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末文科数学试题

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2021·安徽六安·一模

单选题 | 容易(0.94)

解题方法

定义法求焦半径

已知，，C在抛物线上，且到焦点的距离为5，则的面积为（       ）

A．4

B．5

C．8

D．10

2021-02-05更新 | 582次组卷 | 2卷引用：安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测数学(文)试题

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20-21高三上·湖北·期末

单选题 | 容易(0.94)

名校

抛物线的焦点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-02更新 | 1147次组卷 | 13卷引用：湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题

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21-22高三上·北京·期末

单选题 | 容易(0.94)

名校

解题方法

渐近线综合问题

已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-23更新 | 2408次组卷 | 13卷引用：北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题

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20-21高三上·四川成都·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

已知椭圆的上焦点为，以点为圆心，且与一条坐标轴相切的圆的方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-02-04更新 | 496次组卷 | 4卷引用：四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021高三第二次联考文科数学试题

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20-21高三上·安徽滁州·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

直接法解决离心率问题

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₂作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF₁|=3|HF₂|，则双曲线的离心率为（     ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-04更新 | 899次组卷 | 8卷引用：安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题

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20-21高三上·河南信阳·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

直接法解决离心率问题

圆的一条切线与双曲线无交点，则双曲线的离心率的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-03更新 | 320次组卷 | 3卷引用：河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考数学文科试题

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20-21高三上·河南驻马店·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（     ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-06更新 | 2481次组卷 | 10卷引用：河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题

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20-21高三上·安徽宣城·期末

单选题 | 较易(0.85)

抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-29更新 | 470次组卷 | 2卷引用：安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末数学(文)试题

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2021·安徽淮北·一模

单选题 | 较易(0.85)

若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-19更新 | 635次组卷 | 6卷引用：安徽省淮北市2021届高三一模数学（文）试题

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二、解答题

20-21高三上·江西南昌·阶段练习

解答题-问答题 | 容易(0.94)

名校

已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．

2020-12-07更新 | 3227次组卷 | 14卷引用：【南昌新东方】江西省南昌三中2020-2021学年高三上学期11月第一次月考数学(理)试题24

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2019·吉林长春·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

待定系数法求椭圆方程 面积问题

已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、.设是椭圆上一点，满足⊥轴，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.

2021-01-28更新 | 1462次组卷 | 15卷引用：【市级联考】吉林省长春市2019届高三质量监测（二）数学试题

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2020高三·全国·专题练习

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

待定系数法求双曲线方程 范围问题

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．

2021-01-09更新 | 1069次组卷 | 7卷引用：专题9.4 双曲线 （精练）-2021年高考数学（文）一轮复习学与练

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