专题09 直线与圆

【要点提炼】

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂存在，则l₁∥l₂⇔k₁＝k₂，l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝

－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.两个距离公式

（1）两平行直线l₁：Ax＋By＋C₁＝0与l₂：Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝.

（2）点(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

3.圆的方程

（1）圆的标准方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.

（2）圆的一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.

4.直线与圆的位置关系的判定

（1）几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离.

（2）代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.

考点

考向一　直线的方程

【典例1】 （1）(2020·西安检测)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）

A.1 B.－2 C.1或－2 D.－

（2）已知直线l₁：kx－y＋4＝0与直线l₂：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l₁，l₂相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.

解析　（1）由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；

当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.

（2）由题意可知，直线l₁：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，

直线l₂：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，

注意到直线l₁：kx－y＋4＝0和直线l₂：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，

则有MA⊥MB，所以|MA|²＋|MB|²＝|AB|²＝25.

故|MA|·|MB|≤(当且仅当|MA|＝|MB|＝时取“＝”).

答案　（1）A　（2）

探究提高　1.求解两条直线平行的问题时，在利用A₁B₂－A₂B₁＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.

【拓展练习1】

19-20高二上·山西·期中

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

直线相关的对称问题

（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-04-01更新 | 3356次组卷 | 31卷引用：山西省2019-2020学年高二上学期期中数学（文）试题

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考向二　圆的方程

【典例2】 （1）(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km²)是（ ）

A.2 B.4 C.3 D.4

（2）已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.

解析　（1）以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则＝·，整理得(x－4)²＋y²＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为×4×2＝4.

（2）∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

∴设所求圆的圆心为(a，－a).

又∵所求圆与直线x－y＝0相切，

∴半径r＝＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴d²＋＝r²，即＋＝2a²，解得a＝1，

∴圆C的方程为(x－1)²＋(y＋1)²＝2.

答案　（1）B　（2）(x－1)²＋(y＋1)²＝2

探究提高　1.第（1）题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x－4)²＋y²＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.

2.求圆的方程主要方法有两种：（1）直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.（2）待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程.

温馨提醒　解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

【拓展练习2】

2020·北京·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）．

A．4

B．5

C．6

D．7

2020-07-09更新 | 16407次组卷 | 132卷引用：2020年北京市高考数学试卷

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2019·河北·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

已知，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为__________．

2019-03-25更新 | 1290次组卷 | 13卷引用：【校级联考】河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学（文）试题

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考向三　直线(圆)与圆的位置关系

角度1　圆的切线问题

【典例3】 （1）(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和圆x²＋y²＝都相切，则l的方程为（ ）

A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋

C.y＝x＋1 D.y＝x＋

（2）(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²＋y²－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

解析　（1）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x₀，)(x₀>0)，则y′|x＝x₀＝x₀－＝k　②，＝kx₀＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x₀－代入①得x₀＝1或x₀＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程y＝x＋.

（2）由x²＋y²－4x＝0，得(x－2)²＋y²＝4，则圆心为C(2，0)，半径r＝2，过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A，B，连接AC，BC，所以四边形PACB为正方形，即PC＝r＝2，圆心到直线的距离d＝≤2，即－2≤k≤2，所以实数k的取值可以是1，2.故选AB.

答案　（1）D　（2）AB

探究提高　1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.

2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

【拓展练习3】

2020·浙江·高考真题

填空题-双空题 | 适中(0.65)

真题

设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．

2020-07-09更新 | 11020次组卷 | 72卷引用：2020年浙江省高考数学试卷

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单选题 | 较易(0.85)

解题方法

转化与化归思想

已知，点，，从点观察点，要使视线不被挡住，则实数的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-09-26更新 | 165次组卷

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角度2　圆的弦长的相关计算

【典例4】 在直角坐标系xOy中，曲线y＝x²＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

（1）解　不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则x₁，x₂满足方程x²＋mx－2＝0，

所以x₁x₂＝－2.又C的坐标为(0，1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况.

（2）证明　BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x₂.

由（1）可得x₁＋x₂＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立

又x＋mx₂－2＝0，③

由①②③解得x＝－，y＝－.

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，

即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

探究提高　1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.

2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.

【拓展练习4】

2020·天津·高考真题

填空题-单空题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

2020-07-11更新 | 17546次组卷 | 118卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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2020·全国·模拟预测

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何法求弦长

已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________.

2020-04-23更新 | 686次组卷 | 9卷引用：江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研数学试题

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【专题拓展练习】

一、单选题

21-22高三上·云南·期末

单选题 | 容易(0.94)

如果直线与直线平行，那么等于（       ）

A．

B．1

C．

D．2

2021-02-10更新 | 425次组卷 | 2卷引用：云南省2021届高三1月期末考试数学试题

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20-21高三上·甘肃白银·阶段练习

单选题 | 容易(0.94)

直线与之间的距离是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-05更新 | 707次组卷 | 2卷引用：甘肃省白银市会宁县第四中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（文）试题

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20-21高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习

单选题 | 容易(0.94)

已知直线与直线垂直，则实数（       ）

A．10

B．

C．5

D．

2020-12-13更新 | 314次组卷 | 4卷引用：黑龙江省哈尔滨市三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试理科数学试题

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21-22高三上·云南·期末

单选题 | 容易(0.94)

名校

已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（       ）

A．与

B．与

C．与

D．与

2021-02-03更新 | 1125次组卷 | 11卷引用：云南省2021届高三1月期末考试数学试题

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20-21高三上·云南·期中

单选题 | 容易(0.94)

解题方法

几何法求弦长

直线被圆所截得的弦长为2，则（       ）

A．

B．1

C．0

D．

2020-12-06更新 | 1029次组卷 | 6卷引用：云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测数学（文）试题

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19-20高三·贵州·阶段练习

单选题 | 容易(0.94)

名校

解题方法

利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题

已知圆C：(x+3)²+(y+4)²=4上一动点B，则点B到直线l:3x+4y+5=0的距离的最小值为（       ）

A．6

B．4

C．2

D．

2020-12-10更新 | 1510次组卷 | 8卷引用：贵州省贵阳第一中学2021届高考适应性月考卷（三）理科数学试题

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2021·四川成都·二模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

数形结合思想 转化与化归思想

已知椭圆的焦点为，，且椭圆与直线：有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（       ）

A．10

B．7

C．

D．

2021-02-04更新 | 822次组卷 | 7卷引用：四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第二次联考理科数学试题

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2021·山西吕梁·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题

已知直线与圆相交于、两点，且是顶角为的等腰三角形，则等于（       ）

A．

B．

C．

D．或

2021-02-10更新 | 528次组卷 | 8卷引用：山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（文）试题

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2021·宁夏吴忠·一模

单选题 | 较易(0.85)

过点作圆的一条切线AB，切点为B，则三角形ABC的面积为（       ）

A．

B．

C．12

D．6

2021-02-12更新 | 584次组卷 | 5卷引用：宁夏吴忠市2021届高三一轮联考数学（文）试题

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2021·安徽六安·一模

单选题 | 较易(0.85)

已知，直线，P为l上的动点，过点Р作的切线PA，PB，切点为A，B，则最小值为（       ）

A．1

B．

C．2

D．

2021-02-04更新 | 552次组卷 | 7卷引用：安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测数学(文)试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

证明线线、线面平行的方法 证明线线、线面垂直的方法

如图所示，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成，若为线段的中点，则在翻转过程中，则下列命题错误的是（       ）

A．是定值

B．点在圆上运动

C．一定存在某个位置，使

D．一定存在某个位置，使平面

2021-01-16更新 | 668次组卷 | 7卷引用：四川省资阳市安岳县安岳中学2020-2021学年下学期高二数学（理）开学考试试卷（试点班）

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二、解答题

14-15高二上·山西大同·期中

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

直接法求直线方程 几何法求弦长

已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.

2020-02-11更新 | 796次组卷 | 18卷引用：2014-2015学年山西省大同市一中高二上学期期中考试文科数学试卷

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18-19高一下·山东烟台·期中

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

待定系数法求直线方程

已知点，点在圆上运动.
（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；
（2）求的最值.

2020-04-08更新 | 1038次组卷 | 8卷引用：山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中数学试题

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18-19高一下·山东烟台·期中

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

待定系数法求圆方程

已知点，动点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求经过点以及曲线与交点的圆的方程.

2020-04-08更新 | 1677次组卷 | 7卷引用：山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中数学试题

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