专题01三角函数的图象与性质
【要点提炼】
1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 | y=sinx | y=cosx | y=tanx |
图象 |  |  |  |
递增 区间 |  | [2kπ-π，2kπ] |  |
递减 区间 |  | [2kπ，2kπ+π] | |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
对称 中心 | (kπ，0) |  |  |
对称轴 | x=kπ+  | x=kπ | |
周期性 | 2π | 2π | π |
2.三角函数的常用结论
（1）y=Asin(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
（2）y=Acos(ωx+φ)，当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数；
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
（3）y=Atan(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
（1）y=sinx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0).
y=sinωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0).
考点一 三角函数的图像与性质
考向一 三角函数的定义与同角关系式
【典例1】（1）在平面直角坐标系中，
，
，
，
是圆x2+y2=1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是（ ）
A.B.C.D.
（2）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α=
，则|a-b|=（ ）
A.
B.
C.
D.1
解析（1）设点P的坐标为(x，y)，且tanα<cosα<sinα，∴
<x<y，解之得-1<x<0，且0<y<1.故点P(x，y)所在的圆弧是.
（2）由题意知cosα>0.因为cos2α=2cos2α-1=，所以cosα=
，sinα=±
，得|tanα|=.
由题意知|tanα|=
，所以|a-b|=.
答案（1）C（2）B
探究提高1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.
2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦､化异为同､化高为低､化繁为简等.
【拓展练习1】
(2020·唐山模拟)
，则
（ ）A． | B． | C． 或 | D．或 |
【知识点】 由条件等式求正、余弦解读 已知弦（切）求切（弦）解读
(2020·济南模拟)
，则
【知识点】 诱导公式一解读 逆用和、差角的正弦公式化简、求值解读
考向二 三角函数的图象及图象变换
【典例2】（1）(多选题)(2020·新高考山东､海南卷)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=（ ）
A.sin
B.sin
C.cos
D.cos
（2）(2019·天津卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g
=
，则f
=（ ）
A.-2 B.- C. D.2
解析（1）由图象知
=
-
=，得T=π，所以ω=
=2.又图象过点
，由“五点法”，结合图象可得φ+
=π，即φ=，所以sin(ωx+φ)=sin
，故A错误；由sin=sin
=sin知B正确；由sin=sin
=cos知C正确；由sin=cos=cos
=-cos知D错误.综上可知，正确的选项为BC.
（2）由f(x)是奇函数可得φ=kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ=0.
所以g(x)=Asin
，且g(x)最小正周期为2π，
可得
=2π，故ω=2，所以g(x)=Asinx，
g=Asin
=
A=，所以A=2.
所以f(x)=2sin2x，故f=2sin
=.
答案（1）BC（2）C
探究提高1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点､最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.
【拓展练习2】
(2020·济南历城区模拟)
的图象向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
的图象，若
，且
，则
的可能取值（ ）A． | B． | C． | D． |
(2020·长沙质检)
的部分图象如图所示，已知
，函数
的图象可由
图象向右平移
个单位长度而得到，则函数
的解析式为（ ）
A． | B． |
C． | D． |
考向三 三角函数的性质
【典例3】（1）若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A. B. C. D.π
（2）(2020·天一大联考)已知f(x)=cos
(ω>0)，f
=f
，且f(x)在区间
内有最小值，无最大值，则ω=（ ）
A.
B.
C.8 D.4
（3）已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(-ω，ω)内单调递增，且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为________.
解析（1）f(x)=cosx-sinx=cos
，且函数y=cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x+≤π，得-≤x≤.因为f(x)在[-a，a]上是减函数，所以
解得a≤.所以0<a≤，所以a的最大值是.
（2）由于f=f，且f(x)在区间
内有最小值，∴f(x)在x=
=处取得最小值.
因此ω-=2kπ+π，即ω=8k+，k∈Z.①
又函数f(x)在区间无最大值，且ω>0，
∴T=
≥-=，∴0<ω≤12.②
由①②知ω=.
（3）f(x)=sinωx+cosωx=sin
，
因为f(x)在区间(-ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x=ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω+=2kπ+，k∈Z，所以ω2=+2kπ，k∈Z.又ω-(-ω)≤
，即ω2≤，即ω2=，所以ω=
.
答案（1）A（2）B（3）
探究提高1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性､奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.
2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间).
【拓展练习3】
(2020·济南质检)
，若将函数
的图象向右平移
个单位长度后，所得图象关于
轴对称，则下列结论中正确的是A． | B． 是图象的一个对称中心 |
C． | D． 是图象的一条对称轴 |
，则下列结论正确的是（ ）| A． 是偶函数 |
B． 是的最小正周期 |
C．在 上单调递增 |
D．当 时，的最大值为2 |
考向四 三角函数性质与图象的综合应用
【典例4】(2020·临沂一预)在①f(x)的图象关于直线x=
对称，②f(x)=cosωx-
sinωx，③f(x)≤f(0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.
设函数f(x)=2cos(ωx+φ)
，_____________________________.
是否存在正整数ω，使得函数f(x)在
上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
令ωx+φ=kπ，k∈Z，代入x=，
解得φ=kπ-
，k∈Z.
因为0≤φ≤，所以φ=，所以f(x)=2cos
.
当x∈时，ωx+∈
.
若函数f(x)在上单调，则有
+≤π，
解得0<ω≤
.
所以存在正整数ω=1，使得函数f(x)在上是单调的.
若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
f(x)=cosωx-sinωx=2cos
=2cos(ωx+φ)，
且0≤φ≤，所以φ=.
当x∈时，ωx+∈
.
若函数f(x)在上单调，则有+≤π，
解得0<ω≤
.
所以存在正整数ω=1，使得函数f(x)在上是单调的.
若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：
因为f(x)≤f(0)恒成立，即f(x)max=f(0)=2cosφ=2，
所以cosφ=1.
因为0≤φ≤，所以φ=0，所以f(x)=2cosωx.
当x∈时，ωx∈
.
若函数f(x)在上单调，则有≤π，解得0<ω≤2.
所以存在正整数ω=1或ω=2，使得函数f(x)在上是单调的.
探究提高1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=
.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=
.
【拓展练习4】
(2020·威海三校一联)
.(I)求f(0)的值；
(II)从①
；②
这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在
上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
【专题拓展练习】
一､选择题(1~10题为单项选择题，11~15题为多项选择题)
的最小正周期为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求含cosx的函数的最小正周期解读 二倍角的余弦公式解读
的图象向左平移个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 诱导公式五、六解读 求图象变化前（后）的解析式解读
，
是函数
两个相邻的极值点，则
（ ）| A．3 | B． | C． | D． |
【知识点】 正、余弦型三角函数图象的应用解读 根据极值点求参数
的图象向左平移个单位长度后得到函数
的图象，则函数的单调递增区间是（ ）A． | B． |
C． | D．  |
的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点
成中心对称，当
时m的值为（ ）| A． | B． | C． | D． |
，
，则（ ）A．的最大值为 | B．在区间 上只有个零点 |
| C．的最小正周期为 | D． 为图象的一条对称轴 |
在
上具有单调性，且满足
，
，则
的取值共有（
的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
| A．函数为奇函数 |
| B．函数的最小正周期为 |
C．函数的图象的对称轴为直线 |
D．函数的单调递增区间为 |
，其中
，若
对一切恒成立，则以下结论：①函数的图象关于
对称；②函数的单调递增区间是
；③函数既不是奇函数也不是偶函数；④函数的图象关于
对称．其中正确的说法是（ ）| A．①②③ | B．②④ | C．③④ | D．①③④ |
（
）中作正方形
，以
为圆心，
长为半径作圆弧
；然后在矩形
中作正方形
，以
为圆心，
长为半径作圆弧
；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，，
的长度分别为
，对于以下四个命题：①
；②
；③
；④
.其中正确的是（ ）
| A．①② | B．①④ | C．②③ | D．③④ |
，则（ ）| A．是奇函数 | B．是周期函数且最小正周期为 |
C．的值域是 | D．当 时 |
，则（ ）A． | B．的最大值为 |
C．在 单调递增 | D．在 单调递减 |
)的图象向左平移
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）| A．g(x)的最小正周期为π | B．g(x)在区间[0，]上单调递减 |
| C．x=是函数g(x)的对称轴 | D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣ |
A．函数 的最大值是 |
B．函数 的值域为 |
C．函数 在上单调递增，则 的取值范围是 |
D．函数 的最大值为，最小值为 ，若 ，则 |
的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． | B． 是函数， 的一个对称中心 |
C． | D．函数在区间 上是减函数 |
【知识点】 由图象确定正（余）弦型函数解析式解读
