专题13 函数的图像与性质-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）

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2021/04/25更新 262次浏览

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专题13 函数的图像与性质

【要点提炼】

1.函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.

(3)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.

2.函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).

②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.

(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.

②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.

③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.

④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.

易错提醒　错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.

考点

考向一　函数及其表示

【典例1】 (1)(2020·合肥质检)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为(　　)

A. B.

C. D.

(2)(2020·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为(　　)

A.[－2，1] B.[－3，3]

C.[－2，2] D.[－2，3]

解析　(1)要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则解得＜x≤.

∴f(x)的定义域为.

(2)∵f(x)＝

f(－1)＝3，

∴f(－1)＝a^－¹＋1＝3，则a＝，

故f(x)＝

由f(x)≤5，∴当x＞0时，2x－1≤5，解得0＜x≤3，

当x≤0时，＋1≤5，－2≤x≤0.

综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].

答案　(1)B　(2)D

探究提高　1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.

(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.

2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.

【拓展练习1】 (1)(2020·成都诊断)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，典例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4^x－3×2^x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)

A. B.{－1，0，1}

C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2}

(2)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)

C.(－1，0) D.(－∞，0)

解析　(1)令t＝2^x，t∈(1，4)，则f(t)＝t²－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－≤f(t)＜，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.

(2)当x≤0时，函数f(x)＝2^－^x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或所以x<0.

答案　(1)B　(2)D

考向二　函数的图象及应用

【典例2】 (1)(2020·浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)

(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1] B.[1，4]

C.[4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞)

解析　(1)因为f(x)＝xcos x＋sin x，则f(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π＜0，知B错误，只有A满足.

(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，

需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.

答案　(1)A　(2)D

探究提高　1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

【拓展练习2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)

(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2^x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)

A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析　(1)因为y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，

所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数，排除选项C.

当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D项，B正确.

(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2^x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).

又f(x)＞0等价于2^x＞x＋1，

结合图象，可得x＜0或x＞1.

故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.

答案　(1)B　(2)D

考向三　函数的性质及应用

角度1　函数的周期性、奇偶性

【典例3】 (1)(2020·淄博二模)偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x²＋1，则f(2 020)＝(　　)

A.2 B.0 C.－1 D.1

(2)(多选题)(2020·淄博质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是(　　)

A.f(7)＝0

B.f(x)的一个周期为8

C.f(x)图象的一个对称中心为(3，0)

D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2 019

解析　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝0对称，

又f(x)的图象关于点(1，0)对称，

∴f(x)的周期T＝4|1－0|＝4.

∴f(2 020)＝f(2 020－4×505)＝f(0)，

又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x²＋1.

故f(2 020)＝f(0)＝1.

(2)依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1，0)是f(x)图象的一个对称中心，又因为f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，f(x)＝－f(－x－2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x＝2 019＝8×252＋3，所以直线x＝2 019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误，故选ABC.

答案　(1)D　(2)ABC

角度2　函数的单调性与最值

【典例4】 (1)(2020·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2^－^x，设a＝f(－3^1.2)，b＝f(3^－^0.2)，c＝f(log₃0.2)，则(　　)

A.c＞b＞a B.a＞b＞c

C.c＞a＞b D.a＞c＞b

(2)(2020·东北三省三校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.

解析　(1)由f(－x)－f(x)＝0及函数f(x)的定义域为R，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝－2^－^x在[0，＋∞)上单调递增.

因为a＝f(－3^1.2)＝f(3^1.2)，c＝f(log₃0.2)＝f＝f(－log₃5)＝f(log₃5)，

且3^1.2＞3，1＝log₃3＜log₃5＜log₃27＝3，0＜3^－^0.2＜1，

即3^1.2＞log₃5＞3^－^0.2＞0，

所以f(3^1.2)＞f(log₃5)＞f(3^－^0.2)，即a＞c＞b.

(2)由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，且函数f(x)的定义域为R，可知f(x)的图象关于y轴对称，

∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，

∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.

根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，

得－≤a≤－在[1，2]上恒成立.

所以－≤a≤－1，故a的最大值为－1.

答案　(1)D　(2)－1

探究提高　1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.

【拓展练习3】 (1)(2020·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x)＝2^x－1，则f(log₂20)＝(　　)

A. B. C.－ D.－

(2)(多选题)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log₂(x＋1)，下列命题正确的是(　　)

A.f(2 019)＋f(－2 020)＝0

B.函数f(x)在定义域上是周期为2的函数

C.直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点

D.函数f(x)的值域为(－1，1)

解析　(1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.

又2＜log₂5＜3，则－1＜2－log₂5＜0，

所以f(log₂20)＝f(2＋log₂5)＝f(log₂5－2)

＝－f(2－log₂5)＝－(22－log₂5－1)＝－＝.

(2)根据题意，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log₂(x＋1)，又由f(x)为奇函数，则f(x)的部分图象如图.对于A，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x).当x∈[0，1)时，f(x)＝log₂(x＋1)，则f(0)＝log₂1＝0，f(1)＝－f(0)＝0，

又f(2 019)＝f(1)＝0，f(2 020)＝f(0)＝0，f(x)为奇函数，所以f(－2 020)＝－f(2 020)＝0，故f(2 019)＋f(－2 020)＝0，故A正确；对于B，由于f＝f＝－f＝－log₂，f＝－f＝－log₂，∴f≠f，即周期不是2，B错误；对于C，如图，直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点，其坐标为(0，0)，C错误；对于D，函数f(x)的值域为(－1，1)，D正确.故选AD.