专题02 三角恒等变换与解三角形
【要点提炼】
1.三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝
.
(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝
sin(x＋φ)，其中tan φ＝
.
2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
(1)正弦定理
在△ABC中，
＝
＝
＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；
变形：a＝2Rsin A，sin A＝
，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
(2)余弦定理
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝
.
(3)三角形面积公式
S△ABC＝
absin C＝bcsin A＝acsin B.
考点一 三角恒等变换
考向一 三角恒等变换
【典例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan
＝7，则tan θ＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈
，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 (1)2tan θ－tan＝2tan θ－
＝7，解得tan θ＝2.故选D.
(2)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
由α∈知cos α≠0，
则2sin α＝cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，
又α∈，所以sin α＝.
答案 (1)D (2)B
探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.
2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知先求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.
【拓展练习1】 (1)(2020·深圳统测)已知tan α＝－3，则sin
＝( )
A.
B.－ C.
D.－
(2)(2020·江南名校联考)已知α，β均为锐角，且α＋β≠
，若sin(2α＋β)＝
sin β，则
＝________.
解析 (1)由题意，得sin＝sin
＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝
＝
＝
＝－.故选D.
(2)因为sin(2α＋β)＝sin β，
则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
∴2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝5tan α，故＝5.
答案 (1)D (2)5
考点二 解三角形
考向二 利用正(余)弦定理进行边角计算
【典例2】 (2020·青岛质检)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
(1)求角C；
(2)若c＝2
，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.
条件①：S△ABC＝4且B>A；
条件②：cos B＝.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 (1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
由余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)，
所以b＝c(cos A－sin A).
由正弦定理，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
所以sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
所以sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，所以tan C＝－1，
又C∈(0，π)，所以C＝
π.
(2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A.
因为S△ABC＝4＝absin C＝absin 
，所以ab＝8
.
由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
所以a2＋b2＋ab＝40.
由
解得
或
因为B>A，所以b>a，所以
所以CD＝.
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，所以AD＝
.
若选择条件②：cos B＝.
因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝
，
所以结合正弦定理＝，得a＝
＝2.
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26，解得AD＝.
探究提高 1.高考的考向是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.
2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
【拓展练习2】 (2020·日照联考)在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcos C＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.
(1)求tan B的值；
(2)若S＝42，a＝10，求b的值.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 选择条件①：(1)由题意得8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，
即4sin B＝3·
，整理可得3cos B－4sin B＝0.
又sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝
＝.
(2)由tan B＝，得sin B＝.
又S＝42，a＝10，
所以S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，
得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.
选择条件②：(1)已知5bcos C＋4c＝5a，
由正弦定理，得5sin Bcos C＋4sin C＝5sin A，
即5sin Bcos C＋4sin C＝5sin(B＋C)，
即sin C(4－5cos B)＝0.
在△ABC中，因为sin C≠0，所以cos B＝.
所以sin B＝
＝，所以tan B＝.
(2)由S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.
考向三 正、余弦定理与其它知识的交汇问题
角度1 正、余弦定理与三角函数的结合命题
【典例3】 已知m＝(2cos x＋2
sin x，1)，n＝(cos x，－y)，且满足m·n＝0.
(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x∈R)的最大值是f
，且a＝2，求b＋c的取值范围.
解 (1)由m·n＝0，得2cos2 x＋2sin xcos x－y＝0，
即y＝2cos2 x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝2sin
＋1，
所以f(x)＝2sin＋1，其最小正周期为π.
(2)由题意得f＝3，
所以A＋
＝2kπ＋(k∈Z)，
因为0＜A＜π，所以A＝
.
由正弦定理，得b＝
sin B，c＝ sin C，
则b＋c＝
sin B＋sin C
＝sin B＋sin
＝4sin
，
又因为B∈
，
所以sin∈
，
所以b＋c∈(2，4]，所以b＋c的取值范围是(2，4].
角度2 正、余弦定理与向量的结合命题
【典例4】 (2020·潍坊模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，且m∥n.
(1)求C；
(2)若
c＋3b＝3a，求sin A.
解 (1)因为m∥n，
所以(c－a)(sin A＋sin C)＝(b－a)sin B.
由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝
＝
＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由(1)知B＝
－A.
由题设及正弦定理得sin C＋3sin
＝3sin A，
即
＋
cos A＋sin A＝sin A，
可得sin
＝.
由于0<A<，因此－<A－<，
所以cos＝.
故sin A＝sin
＝sincos ＋cos·sin ＝
.
探究提高 1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.
2.与解三角形有关的交汇问题的关注点
(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.
(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.
【拓展练习3】 已知向量a＝
，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
解 (1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x
＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin
＋，
∴f(x)的最小正周期T＝
＝π，
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值.
(2)锐角△ABC中，因为f＝sin
＋＝1，
∴sin＝，∴A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.
S△ABC＝bcsin A＝
bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.
【专题拓展练习】
一、单选题
，则
（ ）A． | B． | C． | D． |
中，若
，则
（ ）A． | B． | C． | D． |
，则
（
则
（ ）A． | B． | C． | D． |
（
，则
（
，则
（
，则
（
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积
.根据此公式，若
，且
，则的面积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 正弦定理边角互化的应用解读 余弦定理解三角形解读 三角函数与解三角形
，
，
，则
（
二、多选题
A．半径为 ，圆心角的弧度数为的扇形面积为 |
B．若 、 为锐角， ， ，则 |
C．若 、 是的两个内角，且 ，则 |
D．若 、 、 分别为的内角、、 的对边，且 ，则是钝角三角形 |
的内角，，的对边长，，成等比数列，
，延长
至
.则下面结论正确的是（ ）A． |
B． |
C．若 ，则 周长的最大值为 |
D．若 ，则 面积的最大值为 |
中，角、、的对边分别为、、，面积为
，有以下四个命题中正确的是（ ）A． 的最大值为 |
B．当 ， 时，不可能是直角三角形 |
C．当，， 时，的周长为 |
D．当，，时，若 为的内心，则 的面积为 |
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内切圆半径为r.若
，
，则下列结论正确的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
中，内角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点，且
，则下列说法正确的是（ ）A． 的最小值是 | B．的最大值是 |
C． 的最小值是 | D．的最小值是 |
三、解答题
中，角，，所对的边分别是，，，且
，
.（1）求
的值；（2）若
的面积为
，求
的值.
中，角，，所对的边分别是，，.已知
.（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）求
的取值范围.
中，角
的对边分别为
，且
．（1）求
的单调递减区间；（2）若
，求三角形中
的值．
