专题17 坐标系与参数方程

【要点提炼】

1、直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，

则

2、几种常见曲线的参数方程

(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.

当圆心在(0，0)时，方程为其中α是参数.

(2)椭圆

椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.

椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.

(3)直线

经过点P₀(x₀，y₀)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.

3、解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.

考向

考向一　极坐标方程

典例1　(2020·四川省双流中学月考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)²＋(y－4)²＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)直线l₁：θ＝(ρ∈R)，直线l₂：θ＝(ρ∈R)，若l₁，l₂与曲线C分别交于异于极点的A，B两点，求△AOB的面积.

解　(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)²＋(y－4)²＝25，

即x²＋y²－6x－8y＝0.

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.

(2)设A，B.

把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，

得ρ₁＝|OA|＝4＋3，

∴A.

把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，

得ρ₂＝|OB|＝3＋4，

∴B.

∴S_△AOB＝ρ₁ρ₂sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)·sin＝12＋.

易错提醒　在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.

拓展练习1　(2020·济南模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.

解　(1)由

可得

所以x²＋(y－1)²＝3cos ²θ＋3sin²θ＝3，

所以曲线C的普通方程为x²＋(y－1)²＝3，

由ρsin＝2，可得ρ＝2，

所以ρsin θ＋ρcos θ－2＝0，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)方法一　曲线C的方程可化为x²＋y²－2y－2＝0，

所以曲线C的极坐标方程为ρ²－2ρsin θ－2＝0，

由题意设A，B，

将θ＝代入ρ²－2ρsin θ－2＝0，可得ρ－ρ₁－2＝0，

所以ρ₁＝2或ρ₁＝－1(舍去)，

将θ＝代入ρsin＝2，可得ρ₂＝4，

所以|AB|＝|ρ₁－ρ₂|＝2.

方法二　因为射线OP的极坐标方程为θ＝，

所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，

由解得A(，1)，

由解得B(2，2)，

所以|AB|＝＝2.

考向二　参数方程

典例2　(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.

解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos ²α)t²＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，

所以①有两个解，设为t₁，t₂，则t₁＋t₂＝0.

又由①得t₁＋t₂＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率为tan α＝－2.

规律方法　把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等.把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.

拓展练习2　(2020·吉林省梅河口市第五中学月考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，且曲线C上的点M对应的参数φ＝，直线l：(t为参数).

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若点A是曲线C上的一动点，求点A到直线l距离的最小值.

解　(1)由题意知解得

∴曲线C的普通方程为＋y²＝1.

(2)直线l的普通方程为x＋y－2＝0，

设点A(2cos θ，sin θ)，

∴A到直线l的距离d＝＝，其中tan α＝2，

当sin(θ＋α)＝1时，d_min＝＝，

∴点A到直线l距离的最小值为.

考向三　极坐标与参数方程的综合应用

典例3　(2020·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.

(1)当k＝1时，C₁是什么曲线？

(2)当k＝4时，求C₁与C₂的公共点的直角坐标.

解　(1)当k＝1时，

曲线C₁的参数方程为(t为参数)，

两式平方相加，得x²＋y²＝1，

所以曲线C₁表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆.

(2)当k＝4时，

曲线C₁的参数方程为(t为参数)，

所以x≥0，y≥0，

曲线C₁的参数方程化为(t为参数)，

两式相加得，曲线C₁的方程为＋＝1，

得＝1－，

平方得y＝x－2＋1，0≤x≤1，0≤y≤1，

曲线C₂的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0，

曲线C₂的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0，

联立C₁，C₂方程

整理得12x－32＋13＝0，

解得＝或＝(舍去)，

所以x＝，y＝，

所以C₁，C₂公共点的直角坐标为.

规律方法　解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点

(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.

(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.

(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.

拓展练习3　在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C的参数方程为(α为参数).

(1)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；

(2)直线l与曲线C交于A，B两点，已知点M(1，1)，求|MA|·|MB|的值.

解　(1)设曲线C上任意一点N(2cos α，sin α)，

直线l：x－2y＋1＝0，

则点N到直线l的距离d＝

＝≤，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.

(2)设直线l的倾斜角为θ，

则由(1)知tan θ＝，∴cos θ＝，sin θ＝.

∴直线l的参数方程为(t为参数)，

曲线C：＋＝1，

联立方程组，消元得t²＋4t－5＝0，

设方程两根为t₁，t₂，则t₁t₂＝－，

由t的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t₁t₂＝.

【专题拓展练习】

19-20高三上·吉林长春·阶段练习

解答题-问答题 | 容易(0.94)

名校

解题方法

利用参数方程解决范围或最值问题

在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的非负半轴建立极坐标系,点的极坐标，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若为曲线上的动点,求中点到直线的距离最小值．

2019-11-15更新 | 1987次组卷 | 4卷引用：吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸数学（理）试题

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解答题 | 容易(0.94)

在极坐标系下，已知圆：和直线：.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程；
（Ⅱ）求圆上的点到直线的最短距离．

2020-10-09更新 | 4486次组卷

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19-20高三上·云南昆明·阶段练习

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆心为，直线与圆交于，两点.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）已知点，当最小时，求的值.

2019-11-06更新 | 1342次组卷 | 5卷引用：云南省师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学（文）试题

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2020·安徽黄山·二模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化

已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）若曲线：分别交直线和曲线于点，，求.

2020-08-14更新 | 815次组卷 | 4卷引用：安徽省黄山市2020届高三第二次质量检测数学(文)试题

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2021·安徽·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

公式法进行极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化 直线的参数方程中参数的几何意义解决距离问题

已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于、两点，，求的值．

2020-11-23更新 | 1923次组卷 | 11卷引用：安徽省皖豫名校联盟体2021届高三（上）第一次联考数学（文科）试题

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