专题14 基本初等函数、函数的应用-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）

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2021/04/25更新 226次浏览

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专题14 基本初等函数、函数的应用

【要点提炼】

1.指数式与对数式的七个运算公式

（1）a^m·aⁿ＝a^m^＋ⁿ；

（2）(a^m)ⁿ＝a^mn；

（3）log_a(MN)＝log_aM＋log_aN；

（4）log_a＝log_aM－log_aN；

（5）log_aMⁿ＝nlog_aM；

（6）alog_aN＝N；

（7）log_aN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).

2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝a^x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log_ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.

3.函数的零点问题

（1）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.

（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒.

考点

考向一　基本初等函数的图象与性质

【典例1】（1）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log_a(a>0，且a≠1)的图象可能是（）

（2）(2020·百校联盟考试)已知函数f(x)＝log(x²－ax＋a)在上为减函数，则实数a的取值范围是（）

A.(－∞，1] B.

C. D.

解析　（1）当a>1时，y＝是减函数，y＝log_a是增函数，且y＝log_a的图象过定点，则选项A，B，C，D均不符合.从而0<a<1，此时y＝是增函数，y＝log_a是减函数，且y＝log_a的图象过定点，只有选项D适合.

（2）∵f(x)在上为减函数，且y＝logt在(0，＋∞)上为减函数，∴t＝x²－ax＋a在上为增函数，且t＞0.因此－≤，且－＋a≥0，解得a≤1且a≥－，则a的取值范围为.

答案　（1）D　（2）B

探究提高　1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.

2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如本典例（2）中易只考虑y＝logt与t＝x²－ax＋a的单调性，而忽视t＞0恒成立的限制条件.

【拓展练习1】(2020·天津卷)

2020·天津·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题名校

解题方法

比较对数，指数，幂的大小问题

设

，则

的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

2020-07-11更新 | 25486次组卷 | 173卷引用：2020年天津市高考数学试卷

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2018·四川广安·一模

单选题 | 较难(0.4)

解题方法

利用函数零点（方程有根)求参数值或参数范围问题

已知函数

（

且

），若函数

的图象上有且仅有两个点关于

轴对称，则

的取值范围是

A．

B．

C．

D．

2018-01-11更新 | 1298次组卷 | 4卷引用：四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学（文）试题

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考向二　函数的零点与方程

角度1　确定函数零点个数或范围

【典例2】（1）函数f(x)＝log₂x－的零点所在的区间为（）

A. B.

C.(1，2) D.(2，3)

（2）(2020·武汉二模)函数f(x)＝4cos²cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.

解析　（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.

f＝log₂－＝－1－2＝－3＜0，

f（1）＝log₂1－＝0－1＜0，

f（2）＝log₂2－＝1－＝＞0，

f（3）＝log₂3－＞1－＝＞0，即f（1）·f（2）＜0，

∴函数f(x)＝log₂x－的零点在区间(1，2)内.

（2）f(x)＝4cos²sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.

答案　（1）C　（2）2

探究提高　判断函数零点个数的主要方法：

（1）解方程f(x)＝0，直接求零点；（2）利用零点存在定理；

（3）数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.

【拓展练习2】 (2019·全国Ⅲ卷)

2019·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85)

真题名校

解题方法

方程法判断函数零点（个数）

函数

在

的零点个数为

A．2

B．3

C．4

D．5

2019-06-09更新 | 25940次组卷 | 90卷引用：河北省张家口市桥西区第四中学2018-2019学年高二6月月考数学（文）试题

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20-21高一上·甘肃·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

数形结合法判断函数零点个数

函数

的零点个数是（）

A．0

B．1

C．2

D．3

2021-01-30更新 | 1813次组卷 | 4卷引用：甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

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角度2　根据函数的零点数形结合求参数

【典例3】（1）已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（）

A.[－1，0) B.[0，＋∞)

C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)

（2）(2019·天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）

A. B.

C.∪{1} D.∪{1}

解析　（1）函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝

－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.

（2）如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象.

①当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况.

当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时，则a＝.

所以0≤a≤.

②当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：

ⅰ相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1.

ⅱ相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点.过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.

结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}.

故选D.

答案　（1）C　（2）D

探究提高　解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

【拓展练习3】

2021高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用函数零点（方程有根)求参数值或参数范围问题

若函数f(x)＝|log_ax|－3^－^x(a>0，a≠1)的两个零点是m，n，则（）

A．mn＝1	B．mn>1
C．0<mn<1	D．无法判断

2021-04-02更新 | 259次组卷 | 1卷引用：专题14 基本初等函数、函数的应用-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）

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19-20高三上·山东威海·期末

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

奇偶性与周期性综合问题

已知

是定义在

上的偶函数，且

，若当

时，

，则下列结论正确的是（）

A．当时，	B．
C．的图像关于点对称	D．函数有个零点

2020-04-14更新 | 1256次组卷 | 9卷引用：山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题

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考向三　函数的实际应用

【典例4】 (2020·新高考山东卷)基本再生数R₀与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e^rt描述累计感染病典例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R₀，T近似满足R₀＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R₀＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病典例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)（）

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

解析　由R₀＝1＋rT，R₀＝3.28，T＝6，

得r＝＝＝0.38.

由题意，累计感染病典例数增加1倍，则I(t₂)＝2I(t₁)，

即e0.38t₂＝2e0.38t₁，所以e0.38(t₂－t₁)＝2，即0.38(t₂－t₁)＝ln 2，

∴t₂－t₁＝≈≈1.8.

故选B.

答案　B

探究提高　1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.

2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.

【拓展练习4】 (2019·全国Ⅱ卷)

2019·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65)

真题名校

2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M_１，月球质量为M_２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A．	B．
C．	D．

2019-06-09更新 | 21968次组卷 | 77卷引用：专题2.9 函数的实际应用-《2020年高考一轮复习讲练测》（浙江版）（练）

（已下线）专题2.9 函数的实际应用-《2020年高考一轮复习讲练测》（浙江版）（练）广东省六校联盟2019-2020学年高三上学期第二次联考数学（理）试题湖南省衡阳市衡阳县六中2019-2020年高一实验班上学期期中数学试题山西省大同市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学（理）试题（已下线）专题4.3+函数的应用（二）（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期6月月考数学试题江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题湖北省黄石市大冶市第一中学2019-2020学年高三理科复读班12月月考数学试题（已下线）预测02 函数与导数-【临门一脚】2020年高考数学三轮冲刺过关(江苏专用)江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高二下学期第二次模块学习效果调查数学试题（已下线）考点09 函数模型及其应用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）第八章函数应用核心专项练习-【提升专练】2021-2022学年高一数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019必修第一册）（已下线）8.2 函数与数学模型-同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）广东省汕头市潮阳一中明光学校2023-2024学年高一上学期第二次检测（11月）数学试题内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考2024届高三上学期期中数学（理）试题 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（已下线）专题09不等式、推理与证明——2019年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题02 函数的概念与基本初等函数I——2019年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题2.9 函数模型及其应用（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》专题11 高考新题型［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）狂刷55 推理与证明-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）专题12 新定义问题、推理与证明-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题02 函数的概念与基本初等函数I-三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题13 不等式、推理与证明——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题02 函数-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题3.9 函数的实际应用（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题09 不等式-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题2.9 函数模型及其应用（精练）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测（已下线）专题2.9 函数模型及其应用（精练）-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测（已下线）专题3.9 函数的应用（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）易错点12 模拟卷（一）-备战2021年新高考数学一轮复习易错题（已下线）专题2.9 函数模型及其应用-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破（已下线）专题33 算法、复数、推理与证明-十年（2011-2020）高考真题数学分项（六）（已下线）考点06 函数模型及其应用-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）专题3.2+函数模型及其应用-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）2021届高三高考必杀技之信息阅读题--类型9 公式的理解与应用（已下线）考点14 函数模型及应用-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过（已下线）考点57 推理与证明-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）专题18+新定义题、推理与证明-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）专题14 基本初等函数、函数的应用-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）（已下线）考点15 函数模型及其应用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）（已下线）解密14 基本初等函数、函数的应用（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题03 函数-备战2021年新高考数学纠错笔记（已下线）文科数学-押第3题数学与其他学科交叉-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（新课标Ⅲ卷）（已下线）理科数学-押第3题数学与其他学科交叉-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（新课标Ⅲ卷）（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月24日）（已下线）理科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（四）（课标全国卷）（6月3日）（已下线）第二章推理与证明【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-2）（已下线）预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（文）三轮冲刺过关（已下线）解密04 函数的应用（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（已下线）预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关（已下线）预测08 不等式-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】（已下线）考点06 函数的应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（已下线）考点03 函数与方程-2022年高考数学（文）一轮复习小题多维练（全国通用）（已下线）专题02 函数的概念与基本初等函数I-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）（已下线）专题3.9 函数的实际应用（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）专题05 与指数函数相关的情景化试题 - 2021-2022学年高一数学新教材情境化新题（人教A版2019必修第一册）第四章指数与对数（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（苏教版2019必修第一册）（已下线）专题04 指数函数与对数函数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（已下线）专题10 推理与证明小题大做-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（已下线）专练34 函数模型的应用及拔高训练-2021-2022学年高一数学上册同步课后专练（人版A版2019必修第一册）（已下线）考向13 函数的零点及函数的应用（重点）（已下线）专题02 函数（已下线）专题23 拉格朗日（已下线）第09讲函数模型及其应用(精讲+精练）-22023版湘教版(2019) 必修第一册过关斩将第4章综合拔高练（已下线）技巧03 数学文化与数学阅读解题策略（精讲精练）-1第4章幂函数、指数函数和对数函数综合拔高练（已下线）考点14 常见函数应用模型 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）第08讲函数模型及其应用（五大题型）（讲义）（已下线）第08讲函数模型及其应用（练习）（已下线）专题05 分类打靶函数应用与函数模型（6大核心考点）（讲义）（已下线）【一题多变】函数应用构造模型（已下线）2.5函数的综合应用（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题02 函数选择题（理科）-2专题10三角函数与解三角形选择填空题(第二部分)

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【专题拓展练习】

一、单选题

2021·山西吕梁·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

指数式，幂式大小比较比较对数，指数，幂的大小问题

已知