专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积
【要点提炼】
1.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝
Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝
πR3.
2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为
a，
，
a.
考点
考向一 空间几何体的表面积
【典例1】 (1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的
球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )
A.24－3π B.24－π
C.24＋π D.24＋5π
(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A.
π B.(1＋)π
C.2π D.(2＋)π
解析 (1)由题意知该几何体的表面积S＝6×22－3×
×π×22＋×4×π×22＝24－π.故选B.
(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.故选AB.
答案 (1)B (2)AB
探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.
2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【拓展练习1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π
C.8π D.10π
(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为( )
A.1 B.2 C.3 D.
解析 (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2.所以S表面积＝2×π×()2＋2π××2＝12π.
(2)如图，设圆柱底面半径为r(0＜r＜2)，高为h，则
＝
，
即h＝(2－r)，其侧面积为S＝2πr(2－r)＝2π(－r2＋2r)，根据二次函数性质，当r＝1时，侧面积取得最大值，此时h＝.
答案 (1)B (2)D
考向二 空间几何体的体积
【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝
，SB＝4，SC＝2
，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是( )
A.4 B.6 C.4 D.6
(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD中，点A是CD的中点，PA＝AD，△ABC为等边三角形，边长为6，PB＝8，PC＝10，则△PBD的面积为________，四面体PABC的体积为________.
解析 (1)∵∠ABC＝，AB＝2，BC＝6，∴AC＝
＝
＝2
.∵∠SAB＝，AB＝2，SB＝4，∴AS＝
＝
＝2.由SC＝2，得AC2＋AS2＝SC2，∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS为三棱锥S－ABC的高，∴V三棱锥S－ABC＝×
×2×6×2＝4.故选C.
(2)因为△ABC为等边三角形，边长为6，点A为CD的中点，所以AD＝AB＝6，所以△ADB为等腰三角形.
又∠DAB＝180°－∠CAB＝120°，
所以∠ADB＝(180°－120°)＝30°，
所以∠ADB＋∠DCB＝90°，所以∠DBC＝90°，所以CB⊥DB，所以DB＝
＝
＝6.因为PB＝8，PC＝10，BC＝6，所以PC2＝PB2＋BC2，所以CB⊥PB.又DB∩PB＝B，DB⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD.因为DA＝AC＝AP＝6，所以△PDC为直角三角形，且∠DPC＝90°，所以PD＝
＝
＝2
.又DB＝6，PB＝8，所以DB2＝PD2＋PB2，即△PBD为直角三角形，所以S△PBD＝×8×2＝8.因为点A为DC的中点，所以VP－ABC＝VP－CBD＝VC－PBD＝××S△PBD×CB＝××8×6＝8，即四面体PABC的体积为8.
答案 (1)C (2)8 8
探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.π B.
C. D.
(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为( )
A. B.
C.1 D.
解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.
∴底面圆半径r＝AM＝
＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·
×1＝.
(2)∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，
∴ED⊥AD.
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，
∴AD⊥平面CDEF.
易知FC＝
＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.
∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×＝2×2×2×＝
，VB－EFC＝BC×S△EFC×
＝2×2×1××＝，
∴VABCDEF＝＋＝
.又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×＝1×2×2×＝，
VA－DEF＝AD×S△DEF×＝2×2×2××＝，VA－BEF＝－－＝.故选B.
答案 (1)B (2)B
考向三 多面体与球的切、接问题
【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π B.
C.6π D.
(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________；内切球的体积V＝________.
解析 (1)由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
∴2r＝4＞3不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝
.故球的最大体积V＝πR3＝
π.
(2)在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，
则(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，
因此R＝
.
依题意Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，
故内切球的半径r＝(3＋4－5)＝1，则V＝πr3＝π.
答案 (1)B (2) π
探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1，点D为侧棱BB1上的动点.若△ADC1周长的最小值为＋
，则三棱锥C1－ABC的外接球的体积为( )
A.2π B.π C.
D.3π
(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC＝，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________.
解析 (1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则2
＋
＝＋，解得x＝，所以CC1＝1，AC1＝.又三棱锥C1－ABC的外接球的球心为AC1的中点，所以外接球的半径R＝，于是三棱锥C1－ABC的外接球的体积为V＝πR3＝π×
＝π.
(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝
＝－，则sin A＝.所以S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×1×＝
，且△ABC的外接圆半径DA＝
＝
＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝
＝
＝.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为××(＋2)＝
.
答案 (1)B (2)
【专题拓展练习】
中，二面角
的大小为
，且
，
，
，则四面体体积的最大值是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 锥体体积的有关计算 由二面角大小求线段长度或距离
A．该四面体外接球的体积为 |
B．该四面体内切球的体积为 |
C．该四面体外接球的表面积为 |
D．该四面体内切球的表面积为 |
的底面是正三角形，
，点
在侧面
内的射影
是
的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 球的表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题
| A．24 | B．28 | C．32 | D．36 |
【知识点】 根据三视图求几何体的体积
，则球的表面积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 球的截面的性质及计算 锥体体积的有关计算 球的表面积的有关计算
，
，
，
，则三棱锥
，若线段
的最小值为
，则下列结论不正确的是（ ）A．正方体的外接球的表面积为 |
B．正方体的内切球的体积为 |
| C．正方体的棱长为2 |
D．线段的最大值为 |
【知识点】 多面体与球体内切外接问题
，底面是矩形，
， 
， 
， 
，直线
到底面的距离
，则该几何体的体积是（ ）
| A．5 | B．10 | C．15 | D． |
的正方形，长方体的一条体对角线与底面成
角，则此长方体的外接球表面积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 球的表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题
中，三棱锥
的表面积为
，则正方体外接球的体积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 棱锥表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 由三视图还原几何体 求组合多面体的表面积 多面体与球体内切外接问题
，
，
，
平面
且
，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 多面体与球体内切外接问题
的各棱长均为
，底面与底面
的中心分别为
、
，
是
上一动点，记三棱锥与三棱锥
的体积分别为
、
，则
的最大值为（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
【知识点】 基本不等式求积的最大值解读 锥体体积的有关计算
的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥
的体积的取值范围是（ ）
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 锥体体积的有关计算
