专题09 概率

【要点提炼】

1.概率模型公式及相关结论

(1)古典概型的概率公式.

P(A)＝$\frac{m}{n}$＝$\frac{A}{}$.

(2)条件概率.

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝$\frac{PAB}{PA}$＝$\frac{nAB}{nA}$.

(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).

(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，

P()＝1－P(A).

2.独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P_n(k)＝Cp^k(1－p)^n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cp^k(1－p)^n－k(k＝0，1，2，…，n).

3.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.

4.离散型随机变量的均值、方差

(1)离散型随机变量ξ的分布列为

离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①p_i≥0；

②p₁＋p₂＋…＋p_i＋…＋p_n＝1(i＝1，2，3，…，n).

(2)E(ξ)＝x₁p₁＋x₂p₂＋…＋x_ip_i＋…＋x_np_n为随机变量ξ的数学期望或均值.

D(ξ)＝(x₁－E(ξ))²·p₁＋(x₂－E(ξ))²·p₂＋…＋(x_i－E(ξ))²·p_i＋…＋(x_n－E(ξ))²·p_n叫做随机变量ξ的方差.

(3)数学期望、方差的性质.

①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a²D(ξ).

②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).

③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).

考点

考向一　古典概型

【典例1】 (1)(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A. B. C. D.

(2)(2020·湖北四地七校联考)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为________.

解析　(1)在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝2⁶＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20.

故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝.

(2)4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有2⁴＝16种情况.只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的情况有16－2＝14种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率p＝＝.

答案　(1)A　(2)

探究提高　求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.

【拓展练习1】 (1)(2020·重庆质检)2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为(　　)

A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3

(2)(2020·济南一模)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图(1)：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方.按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析　(1)从5人中任选2人定点支援湖北某医院的基本事件总数n＝C＝10，恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数m＝C·C＝6，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为P＝＝＝0.6.

(2)记“将1到9这九个数字，填在题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字的和都等于15”为事件A，则题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数的不同方法共有A·A＝576(种).而事件A所包含的基本事件如图，共有8种.

所以P(A)＝＝.

答案　(1)C　(2)C

考向二　条件概率及相互独立事件的概率

【典例2】 (1)(2020·广州调研)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n.已知这三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝(　　)

A. B. C. D.

(2)(2020·辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________.

解析　(1)设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社团分别为事件A，B，C，

则P(A)＝m，P(B)＝，P(C)＝n.

依题意知P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝m××n＝，所以mn＝.

1－P()＝1－P()P()P()＝1－(1－m)××(1－n)＝，

所以(1－m)(1－n)＝.

于是(1－m)(1－n)＝1－(m＋n)＋mn＝1－(m＋n)＋＝，所以m＋n＝.

(2)记事件A为“一天的空气质量为优良”，事件B为“随后一天的空气质量也为优良”，则P(AB)＝，P(A)＝，根据条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝.

答案　(1)C　(2)

探究提高　1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.

2.(1)条件概率的计算，要分清是在谁的条件下的概率，古典概型的条件概率可缩减样本空间优化计算；(2)对于独立重复试验，要牢记公式P_n(k)＝Cp^k(1－p)^n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义.

【拓展练习2】 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后也出现红灯的概率为(　　)

A. B. C. D.

(2)(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________.

解析　(1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得P(A)＝，P(AB)＝.由条件概率的定义可得P(B|A)＝＝.故选C.

(2)甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；

事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”，P()＝×＝，所以P(A)＝1－＝.

答案　(1)C　(2)　

考向三　随机变量的分布列、均值与方差

角度1　超几何分布

【典例3】 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：

(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；

(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.

解　(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，

从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C＝45种，

这两名学生来自同一小组的取法共有C＋C＋C＝10(种)，

所以p＝＝.

(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.

X的可能取值为0，1，2.

则P(X＝k)＝ (k＝0，1，2).

∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

则随机变量X的分布列为

X	0	1	2
P

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

探究提高　1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.

2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够判定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式P(X＝k)＝ (k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*).

【拓展练习3】 (2020·长沙调研)某市“好运来”超市为了回馈新老顾客，决定在2021年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.

(1)求P(ξ＝3)；

(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.

解　(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，

所以P(ξ＝3)＝＝＝.

(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6；η的所有可能取值为50，30，10，0.

P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，

P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，

P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，

P(η＝0)＝1－－－＝.

所以η的分布列为

η	50	30	10	0
P

所以E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.

角度2　二项分布及其均值与方差

【典例4】 (2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

解　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，

故X～B，从而P(X＝k)＝C，

k＝0，1，2，3.

所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.

由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，

从而由(1)知

P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})

＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)

＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)

＝×＋×＝.

探究提高　1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列.

2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cp^k(1－p)^n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得.

【拓展练习4】 (2020·百校大联考)某省新课改后，某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.

(1)根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.

(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.

①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01)；

②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p(0＜p＜1)，若2020届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，求p的取值范围.

可能用到的参考数据：取0.36⁴＝0.0168，0.16⁴＝0.000 7.

解　(1)由条形统计图，估计本届学生本科上线率

P＝＝60%.

(2)①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由题可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则P(A)＝C×0.6⁸×(1－0.6)²＝C×0.36⁴×0.16＝45×0.0168×0.16≈0.12.

②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，

依题意，可得X～B(40 000，0.6)，Y～B(36 000，p).

因为2020届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，

所以E(Y)≥E(X)，即36 000p≥40 000×0.6，解得p≥，

又0＜p＜1，故p的取值范围为.

考向四　概率与统计的综合问题

【典例5】 (2020·九师联盟联考)为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.

(1)求a，b，c的值；

(2)填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？

(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：K²＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)由题意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，

而a，b，c构成以2为公比的等比数列，

所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.

则b＝0.010，c＝0.020.

(2)获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10＝20.

因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.

故完成2×2列联表如下：

由表中数据可得

K²的观测值k＝≈1.316＜6.635，

所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.

(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005×10＝0.05，

将频率视为概率，所以X可取0，1，2，且X～B(2，0.05).

则P(X＝k)＝C (k＝0，1，2).

故X的分布列为

X	0	1	2
P

故X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(X)＝2×0.05＝0.1).

探究提高　1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.

2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：

(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；

(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.

【拓展练习5】 (2020·石家庄模拟)新高考，取消文理科，实行“3＋3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人(把年龄在[15，45)称为中青年，年龄在[45，75)称为中老年)，并把调查结果制成下表：

(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

(2)请根据上表完成下面2×2列联表，是否有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联？

附：K²＝.

(3)若从年龄在[55，65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X，求X的分布列以及E(X).

解　(1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率p＝＝，

中老年对新高考了解的概率p＝＝.

(2)2×2列联表如下所示

则K²的观测值k＝≈5.556＞3.841，

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.

(3)年龄在[55，65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0，1，2，

则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝；

P(X＝2)＝＝.

所以X的分布列为

X	0	1	2
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

【专题拓展练习】

一、单选题

20-21高三上·河南·期末

单选题 | 较易(0.85)

从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-04更新 | 814次组卷 | 4卷引用：河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题

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20-21高三上·浙江温州·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

互斥事件概率的求法

在编号分别为的n名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n所得的余数如果恰好为i，则选编号为i的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-02更新 | 819次组卷 | 7卷引用：浙江省温州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题

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20-21高三上·山东德州·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-03更新 | 1040次组卷 | 8卷引用：山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题

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20-21高三上·安徽·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-05更新 | 1616次组卷 | 5卷引用：安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考理科数学试题

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2021·安徽黄山·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-28更新 | 1424次组卷 | 6卷引用：安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数､()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件､､发生的概率分别为､､，则下列关系式成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-16更新 | 1242次组卷 | 12卷引用：江西省新余市第一中学2020-2021学年高二年级第六次考试数学（理）试题

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2021·全国·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-23更新 | 6856次组卷 | 12卷引用：河北省石家庄市藁城九中2020-2021学年高二下学期期中数学试题

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2021·江西吉安·模拟预测

单选题 | 容易(0.94)

名校

造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-21更新 | 1460次组卷 | 8卷引用：江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则下列说法错误的是（ ）．

A．甲从到达处的方法有种

B．甲从必须经过到达处的方法有种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人相遇的概率为

2021-01-16更新 | 1024次组卷 | 2卷引用：专题61 统计与概率综合练习-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程､20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-18更新 | 1190次组卷 | 5卷引用：押第9题概率统计小题-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

由数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”.从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-16更新 | 485次组卷 | 3卷引用：专题61 统计与概率综合练习-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）

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二、解答题

21-22高三上·江西赣州·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65)

一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望.

2021-02-04更新 | 1159次组卷 | 6卷引用：江西省赣州市2021届高三上学期期末考试数学（理）试题

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解答题 | 适中(0.65)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为.
（1）若，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

2021-02-03更新 | 1582次组卷

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