专题15 导数与函数的单调性、极值、最值问题
【要点提炼】
1.导数的几何意义
函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(4)(logax)′＝
(a>0，且a≠1，x>0).
3.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
4.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.
考向一 导数的几何意义
【典例1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
(2)(多选题)下列四条曲线中，直线y＝2x与其相切的有( )
A.曲线y＝2ex－2
B.曲线y＝2sin x
C.曲线y＝3x＋
D.曲线y＝x3－x－2
解析 (1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为
y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.
所以
即
(2)直线y＝2x的斜率为k＝2，
A中，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切.
B中，若f(x)＝2sin x，则由f′(x)＝2cos x＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2sin x相切.
C中，若f(x)＝3x＋，则由f′(x)＝3－
＝2，得x＝±1，f(1)＝4，f(－1)＝－4，因为(1，4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝3x＋不相切.
D中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，f(1)＝－2，f(－1)＝－2，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切.故选ABD.
答案 (1)D (2)ABD
探究提高 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.
【拓展练习1】 (1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
解析 (1)设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝
(x－m).
又切线过点(－e，－1)，
所以有n＋1＝(m＋e).
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1).
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，
所以切线的斜率为
＋1＝2，解得x0＝1.
所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案 (1)(e，1) (2)2x－y＝0
考向二 利用导数研究函数的单调性
角度1 讨论函数的单调性(区间)
【典例2】 (2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2ln x＋1.
(1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围；
(2)设a>0，讨论函数g(x)＝
的单调性.
解 设h(x)＝f(x)－2x－c，则h(x)＝2ln x－2x＋1－c，
其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝
－2.
(1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0.
所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减.
从而当x＝1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)＝－1－c.
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c.
所以c的取值范围为[－1，＋∞).
(2)g(x)＝＝
，x∈(0，a)∪(a，＋∞).
g′(x)＝
＝
.
取c＝－1得h(x)＝2ln x－2x＋2，h(1)＝0，
则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋ln x<0.
故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－
＋ln <0，
从而g′(x)<0.
所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减.
角度2 根据函数的单调性求参数的取值范围
【典例3】 (1)已知函数f(x)＝
mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是( )
A.[－1，1] B.[－1，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，1]
(2)若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.
解析 (1)f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，
∴m≥－
＋.
令g(x)＝－＋，则当＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.
(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－
＝
＝
.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.
答案 (1)C (2)(0，1)∪(2，3)
探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
【拓展练习2】 (2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x＞0时，f(x)＞0，求正实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝a(x＋1)ex－2x－2＝(x＋1)(aex－2).
①当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＜－1；由f′(x)＜0，得x＞－1.
∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减.
②当a＝2e时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，
③当0＜a＜2e时，由f′(x)＜0，得－1＜x＜ln 
；
由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞ln .
∴f(x)在(－∞，－1)和
上单调递增，f(x)在
上单调递减.
④当a＞2e时，由f′(x)＜0，得ln ＜x＜－1；
由f′(x)＞0，得x＞－1或x＜ln .
故f(x)在(－1，＋∞)和
上单调递增，f(x)在
上单调递减.
(2)当a≥2e时，由第(1)问知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＞f(0)＝0，满足题意.
当0＜a＜2e时，由(1)知：
当ln ≤0时，即2≤a＜2e时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，即f(x)＞f(0)＝0，符合题意.
当ln ＞0时，即0＜a＜2时，f(x)在
单调递减，在单调递增.
因此当x∈时，f(x)＜f(0)＝0，不符合题意.
综上可知，实数a的取值范围是[2，＋∞).
考向三 利用导数研究函数的极值和最值
【典例4】 设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0).
当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点.
当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜
且b＜
时，f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，①当a≥1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－
<2e
－4a＝2(e－2a)<0；②当0<a<1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－<2e
－4<0.
故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点.
(2)证明 由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).
由于2e2x0－
＝0，
所以f(x0)＝
＋2ax0＋aln≥2a＋aln.
故当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.
探究提高 (1)运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题.
(2)利用导数解决不等式恒成立问题：一般先转化为我们熟悉的函数，利用导数研究单调性，求出最值，解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论.
【拓展练习3】 (2020·江南十校联考)已知f(x)＝mx2－x＋ln x.
(1)当m＝0时，求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最大值M(t)；
(2)当m＝1时，若存在正数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＝1－ln 2，求证：x1＋x2≥2.
(1)解 当m＝0时，f(x)＝ln x－x，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，函数单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数单调递减.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)的最大值为f(t)＝ln t－t；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t，1)上单调递增，在区间(1，t＋1)上单调递减，f(x)的最大值为f(1)＝－1.
综上，M(t)＝
(2)证明 当m＝1时，f(x)＝x2－x＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，则f(x1)＋f(x2)＝x
＋x
－(x1＋x2)＋ln x1x2＝1－ln 2，
即(x1＋x2)2－(x1＋x2)＝2x1x2－ln x1x2＋1－ln 2.
令h(x)＝2x－ln x＋1－ln 2，则h′(x)＝
，
故h(x)在
上单调递减，在
上单调递增，
∴h(x)在x＝时，取到最小值h
＝2.
因此(x1＋x2)2－(x1＋x2)≥2，
即(x1＋x2－2)(x1＋x2＋1)≥0.
又x1＞0，x2＞0，所以x1＋x2≥2.
【专题拓展练习】
一、单选题
A． | B． | C． | D． |
的导函数
的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
【知识点】 函数与导函数图象之间的关系 函数（导函数）图象与极值的关系
，则其单调增区间是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 导数的运算法则 利用导数求函数的单调区间（不含参）
在
处取得极值，则（ ）A． ，且 为极大值点 | B．，且为极小值点 |
C． ，且为极大值点 | D．，且为极小值点 |
【知识点】 根据极值点求参数
的图象在点
处的切线斜率为
，且函数
在
处取得极值，则
（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 已知切线（斜率）求参数 根据极值点求参数
的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值=-4，那么p，q值分别为（ ）| A．8，6 | B．9，6 | C．4，2 | D．6，9 |
【知识点】 根据极值求参数
的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）A． | B． | C． | D．1 |
【知识点】 已知切线（斜率）求参数 由导数求函数的最值（不含参）
的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 求已知函数的极值点
，则
在区间上的最大值为（ ）| A．-1 | B．0 | C． | D． |
【知识点】 由导数求函数的最值（不含参）
的一个单调递减区间是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 利用导数求函数的单调区间（不含参）
在
上取得极大值，在
上取得极小值，则
的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 根据极值求参数 根据线性规划求最值或范围解读
与
的图象上存在关于直线
对称的点，若点
，
分别在，的图象上，则当
取最大值时，
的最小值是（ ）A． | B． | C． | D． |
，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 由导数求函数的最值（不含参） 分段函数的值域或最值
，则
是（ ）A．奇函数，且存在 使得 | B．奇函数，且对任意 都有 |
| C．偶函数，且存在使得 | D．偶函数，且对任意都有 |
【知识点】 函数奇偶性的定义与判断解读 利用导数证明不等式
，已知在
有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）A． | B．在 上单调递增 |
C．在 上单调递减 | D．在 上至多有2个极大值点 |
二、解答题
，
，求：（1）
的单调增区间；（2）
在
上的最小值和最大值.
在点
处的切线斜率为
．（1）求实数a的值；
（2）求
的单调区间和极值．
且曲线 
在点
处的切线方程为
．（1）求实数a，b的值及函数
的单调区间；（2）若关于x的不等式
恒成立，求实数 m的取值范围．
