专题01 三角函数的图像与性质

【要点提炼】

1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数	y＝sin x	y＝cos x	y＝tan x
图象
递增 区间		[2kπ－π，2kπ]
递减 区间		[2kπ，2kπ＋π]
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
对称 中心	(kπ，0)
对称轴	x＝kπ＋	x＝kπ
周期性	2π	2π	π

2.三角函数的常用结论

（1）y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)求得.

（2）y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

（3）y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

（1）y＝sin x

y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

y＝sin ωx

y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

【方法指导】

1、已知函数$y=A\sin (\omega x+\varphi )+B(A>0,\omega >0)$的图像求解析式的方法：（1）$A=\frac{y{}_{\max }-y_{\min }}{2},B=\frac{y_{\max }+y_{\min }}{2}$；（2）由函数的周期$T$求$\omega$，则$\omega =\frac{2\pi }{T}$；（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求$\varphi$.

2、运用整体换元法求解单调区间与对称性问题：类比$y=\sin x$的性质，只需将$y=A\sin (\omega x+\varphi )$中的“$\omega x+\varphi$”看成$y=\sin x$中的“$x$”，采取整体代入求解.（1）令$\omega x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$，可求得对称轴方程；（2）令$\omega x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$，可求得对称中心的横坐标；（3）将“$\omega x+\varphi$”看作整体，可求得$y=A\sin (\omega x+\varphi )$的单调区间，注意$\omega$的符号.

命题点一： 三角函数的图像

考向一 三角函数的图像变换

【典例1】 1．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知函数$f(x)=\sin \omega x(0<\omega \le 4)$的图像关于直线$x=\frac{\pi }{3}$对称，将函数$f\left(x\right)$的图像向右平移$\frac{\pi }{2}$个单位得到函数$g\left(x\right)$的图像，则$g\left(x\right)$在$\left[0,\frac{7\pi }{18}\right]$上的值域为（ ）

A．$\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ B．$\left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ C．$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right]$ D．$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right]$

【答案】A

【解析】

由对称性求得$\omega$，由平移求得$g(x)$的表达式，再求出$\frac{3}{2}x-\frac{3\pi }{4}$的范围，结合正弦函数性质得值域．

【解析】

∵函数$f(x)=\sin \omega x$的图像关于直线$x=\frac{\pi }{3}$对称，

$\frac{\omega \pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in Z$，又$0<\omega \le 4$，可得$\omega =\frac{3}{2}$，

故$f(x)=\sin \frac{3}{2}x$，$g(x)=\sin \frac{3}{2}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3}{2}x-\frac{3\pi }{4}\right)$，

∵$x\in \left[0,\frac{7\pi }{18}\right]$，∴$-\frac{3\pi }{4}\le \frac{3}{2}x-\frac{3\pi }{4}\le -\frac{\pi }{6}$，

∴$-1\le \sin \left(\frac{3}{2}x-\frac{3\pi }{4}\right)\le -\frac{1}{2}$，

故选：A．

【方法总结】

1.“五点法”作图：设$z=\omega x+\varphi$，令$z=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$求出$x$的值与相应$y$的的值，描点、连线可得.

2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量$x$而言的，如果$x$的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

【拓展练习】

（2020·江苏南通市·高三月考）

1.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数$y=A\sin \omega t$，已知函数$f\left(x\right)=2\cos \left(2x+\phi \right)\left(-\pi \le \phi \le \pi \right)$的图象向右平移$\frac{\pi }{3}$个单位后，与纯音的数学模型函数$y=2\sin 2x$图象重合，则$\phi =$______，若函数$f\left(x\right)$在$\left[-a,a\right]$是减函数，则$a$的最大值是______.

【答案】$\frac{\pi }{6}$ $\frac{\pi }{12}$

【解析】

将函数$y=2\sin 2x$的图象向左平移$\frac{\pi }{3}$个单位后可得到函数$y=f\left(x\right)$的图象，结合诱导公式可求得$\phi$的值，求得函数$y=f\left(x\right)$的单调递减区间，由$x=0$属于该区间求得$k$的值，再由区间的包含关系可求得$a$的最大值.

【解析】

将函数$y=2\sin 2x$的图象向左平移$\frac{\pi }{3}$个单位后可得到函数$y=f\left(x\right)$的图象，

则$f\left(x\right)=2\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]=2\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)=2\sin \left[\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{2}\right]=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，

又$f\left(x\right)=2\cos \left(2x+\phi \right)\left(-\pi \le \phi \le \pi \right)$，$\therefore \phi =\frac{\pi }{6}$，

令$2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{6}\le 2k\pi +\pi \left(k\in Z\right)$，解得$k\pi -\frac{\pi }{12}\le x\le k\pi +\frac{5\pi }{12}\left(k\in Z\right)$，

所以，函数$y=f\left(x\right)$的单调递减区间为$\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right]\left(k\in Z\right)$，

由$0\in \left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right]\left(k\in Z\right)$，可得$k=0$，

由于函数$y=f\left(x\right)$在区间$\left[-a,a\right]$上单调递减，则$\left[-a,a\right]\subseteq \left[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right]$，

所以，$\left\{\begin{array}{l}-a\ge -\frac{\pi }{12}\hfill \\ a\le \frac{5\pi }{12}\hfill \\ -a<a\hfill \end{array}\right.$，解得$0<a\le \frac{\pi }{12}$，则$a$的最大值为$\frac{\pi }{12}$.

故答案为：$\frac{\pi }{6}$；$\frac{\pi }{12}$.

【点睛】

本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.

考向二 由函数的图象特征求解析式

【典例2】 （2020·全国高三其他模拟）函数$f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\phi \right)\left(A>0,\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2}\right)$的部分图象如图所示，$C$为函数$f\left(x\right)$的图象与$y$轴的交点，$B$为函数$f\left(x\right)$的图象与$x$轴

的一个交点，且$\left|BC\right|=\frac{\sqrt{33}}{2}$.若函数$f\left(x\right)$的图象与直线$y=\frac{5}{4}$在内的两个交点的坐标分别为$\left(x_1,y_1\right)$和$\left(x_2,y_1\right)$，则$f\left(x_1+x_2\right)=$（ ）

A．$-1$ B．$-\sqrt{2}$ C．$-\sqrt{3}$ D．$-2$

【答案】B

【解析】

根据题图易得$A=2$，$△BOC$为直角三角形，则结合匀股定理可得点$C$的坐标，将点$C$的坐标代入解析式求得$\phi$的值，然后根据“五点作图法”求得$\omega$的值，进而得到$f\left(x\right)$的解析式，最后利用图象的对称性求得$x_1+x_2=3$，即可得解，

【解析】

由题图可知$A=2$，$△BOC$为直角三角形，且$\angle BOC=\frac{\pi }{2}$，所以$\left|OC\right|=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{33}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{2}$，$C\left(0,-2\right)$，则$f\left(0\right)=-\sqrt{2}$，即$\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2}$，所以$\phi =-\frac{\pi }{4}$，所以$f\left(x\right)=2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{4}\right)$.因为点$B\left(\frac{5}{2},0\right)$为“五点作图法”中的第三个点，所以$\frac{5}{2}\omega -\frac{\pi }{4}=\pi$，所以$\omega =\frac{\pi }{2}$，于是$f\left(x\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{4}\right)$.由$\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2}\left(k\in Z\right)$，得$x=2k+\frac{3}{2}\left(k\in Z\right)$，所以函数$f\left(x\right)$的图象在$\left(0,3\right)$内的一条对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，则由题意知$x_1+x_2=3$，所以$f\left(x_1+x_2\right)=f(3)=2\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=-2\sin \frac{\pi }{4}=-\sqrt{2}$

故选B

【点睛】

关键点睛：解题的关键是以三角函数的部分图象为依托，利用“五点作图法” ，结合匀股定理可得点$C$的坐标，并将点$C$的坐标代入解析式求得$\phi$的值和$\omega$的值，主要考查学生对方程思想与整体思想的理解与应用，难度属于中档题

【方法总结】

1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像求其解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般将第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置.

2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间).

【拓展练习】

（2021·全国高三专题练习）

1.如图是函数$f(x)=A\cos (2x+\phi )$$(A>0,0\le \phi \le \pi )$图象的一部分，对不同的$x_1,x_2\in [a,b]$，若$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，有$f\left(x_1+x_2\right)=\sqrt{3}$，则（ ）

A．$f\text{(}x\text{) }$在区间$\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$上是增函数

B．$f\text{(}x\text{) }$在区间$\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$上是减函数

C．$f\text{(}x\text{) }$在区间$\left(\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right)$上是增函数

D．$f\text{(}x\text{) }$在区间$\left(\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right)$上是减函数

【答案】B

【解析】

（1）根据题意可得$A=2$，且$\frac{a+b}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}$，从而可得$a+b=-\phi$，再由$f\left(x_1+x_2\right)=\sqrt{3}$解得$\phi =\frac{\pi }{6}$，即$f(x)=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，再利用余弦函数的性质即可求解.

【解析】

解析：由函数$f(x)=A\cos (2x+\phi )$$\left(A>0,0\le \phi \le \pi \right)$图象的一部分，

可得$A=2$，函数的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}$对称，

∴$a+b=x_1+x_2$.

由五点法作图可得$2a+\phi =-\frac{\pi }{2}$，$2b+\phi =\frac{\pi }{2}$，

∴$a+b=-\phi$.

再根据$f\left(x_1+x_2\right)=f(a+b)=2\cos (-2\phi +\phi )=2\cos (-\phi )=\sqrt{3}$，可得$\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，

∴$\phi =\frac{\pi }{6}$，$f(x)=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$.

在$\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$上，$2x+\frac{\pi }{6}\in (0,\pi )$，

故$f\left(x\right)$在$\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$上是减函数，

故选：B.

（2020·云南玉溪市·高三其他模拟（理））

2.已知函数$f(x)=\sqrt{3}\sin (\omega x+\phi )\left(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2}\right)$的部分图象如图所示，若$f\left(\frac{5\pi }{24}\right)=f\left(\frac{13\pi }{24}\right)$，则函数的单调递增区间为（ ）

A．$\left[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{3\pi }{8}\right](k\in Z)$ B．$\left[2k\pi -\frac{\pi }{8},2k\pi +\frac{3\pi }{8}\right](k\in Z)$

C．$\left[k\pi +\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{7\pi }{8}\right](k\in Z)$ D．$\left[2k\pi +\frac{3\pi }{8},2k\pi +\frac{7\pi }{8}\right](k\in Z)$

【答案】A

【解析】

由图可知，$f\left(\frac{\pi }{8}\right)=0$，且$f\left(\frac{5\pi }{24}\right)=f\left(\frac{13\pi }{24}\right)$，可以得到$\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{4}$，进而得到解析式为$f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，求其单调递增区间即可.

【解析】

因为$f\left(\frac{5\pi }{24}\right)=f\left(\frac{13\pi }{24}\right)$，所以对称轴为$x=\frac{9}{24}\pi =\frac{3}{8}\pi$，即$\frac{3\pi }{8}\omega +\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}$

又因为$f\left(\frac{\pi }{8}\right)=0$，所以$\frac{\pi }{8}\omega +\phi =2k\pi$，

联立可得：$\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{4}$，所以$f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，

所以$-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$，即$x\in \left[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{3\pi }{8}\right](k\in Z)$

所以函数$f\left(x\right)$的单调递增区间为$x\in \left[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{3\pi }{8}\right](k\in Z)$

故选：A.

【点睛】

本题考查由三角函数的部分图像求解析式，考查三角函数的图像和性质，属于中档题.关键点是能够利用函数值相等和零点正确解出解析式.

命题点二 三角函数性质的综合应用

【典例3】(2020·临沂一预)在①f(x)的图象关于直线x＝对称，②f(x)＝cos ωx－sin ωx，③f(x)≤f(0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.

设函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)，_____________________________.

是否存在正整数ω，使得函数f(x)在上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解　若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：

令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，代入x＝，

解得φ＝kπ－，k∈Z.

因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝2cos.

当x∈时，ωx＋∈.

若函数f(x)在上单调，则有＋≤π，

解得0<ω≤.

所以存在正整数ω＝1，使得函数f(x)在上是单调的.

若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：

f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2cos＝2cos(ωx＋φ)，

且0≤φ≤，所以φ＝.

当x∈时，ωx＋∈.

若函数f(x)在上单调，则有＋≤π，

解得0<ω≤.

所以存在正整数ω＝1，使得函数f(x)在上是单调的.

若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：

因为f(x)≤f(0)恒成立，即f(x)_max＝f(0)＝2cos φ＝2，

所以cos φ＝1.

因为0≤φ≤，所以φ＝0，所以f(x)＝2cos ωx.

当x∈时，ωx∈.

若函数f(x)在上单调，则有≤π，解得0<ω≤2.

所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f(x)在上是单调的.

【方法总结】

1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.

【拓展练习】

1. （2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））下列函数中，以$\frac{\pi }{2}$为周期且在区间$\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$上单调递减的是（ ）

A．$f\left(x\right)=\cos \left|2x\right|$ B．$f\left(x\right)=\sin \left|2x\right|$

C．$f\left(x\right)=2\left|\sin x\cos x\right|$ D．$f\left(x\right)=\left|2{\sin }^{2}x-1\right|$

【答案】D

【解析】

分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间$\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$上单调递减即可．

【解析】

A: $f\left(x\right)=\cos \left|2x\right|=\cos 2x$，周期为$\pi$，排除；

B: $f\left(x\right)=\sin \left|2x\right|$，不具有周期性，排除；

C: $f\left(x\right)=2\left|\sin x\cos x\right|=\left|\sin 2x\right|$，周期为$\frac{\pi }{2}$，在区间$\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$上单调递增，排除；

D: $f\left(x\right)=\left|2{\sin }^{2}x-1\right|=\left|\cos 2x\right|$，周期为$\frac{\pi }{2}$，在区间$\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$上单调递减

故选D

【点睛】

本题考查三角函数的周期、单调区间，属于基础题．

2．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）已知函数$f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)+m\left(\omega >0,-\frac{\pi }{2}<\phi <0\right)$满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①$\omega =\frac{3}{2}$，②周期$T=\pi$，③过点$\left(0,0\right)$，④$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}$．

（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求$f\left(x\right)$的解析式；

（2）求函数$f\left(x\right)$的图象与直线$y=1$相邻两个交点间的最短距离．

【答案】（1）②③④；$f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$；（2）$\frac{\pi }{3}$．

【解析】

（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到$\omega =2$，$\sin \phi +m=0$，$\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\phi \right)+m=\frac{3}{2}$，解得$\phi =-\frac{\pi }{6}$，$m=\frac{1}{2}$，得到解析式.

（2）根据题意$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$，故$x=k\pi +\frac{\pi }{6}$，或$x=k\pi +\frac{\pi }{2}$，$k\in Z$，得到答案.

【解析】

（1）所满足的三个条件是：②③④，

$\because f\left(x\right)$的周期$T=\pi$，$\therefore \omega =2$，$\therefore f\left(x\right)=\sin \left(2x+\phi \right)+m$，

又过点$\left(0,0\right)$，且$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}$，$\therefore \sin \phi +m=0$，$\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\phi \right)+m=\frac{3}{2}$，

$\therefore \sin \left(\frac{2\pi }{3}+\phi \right)-\sin \phi =\frac{3}{2}$，$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \phi -\frac{1}{2}\sin \phi -\sin \phi =\frac{3}{2}$，

$\therefore \sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\cos \phi -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \phi \right)=\frac{3}{2}$，$\therefore \sin \left(\frac{\pi }{6}-\phi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$-\frac{\pi }{2}<\phi <0$，$\therefore \phi =-\frac{\pi }{6}$，

又$\sin \phi +m=0$，$\therefore -\frac{1}{2}+m=0$，$\therefore m=\frac{1}{2}$，$\therefore f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$．

（2）由$f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}=1$，得$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$，

$\therefore 2x-\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{6}$，或$2x-\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{5\pi }{6}$，$k\in Z$，

$\therefore x=k\pi +\frac{\pi }{6}$，或$x=k\pi +\frac{\pi }{2}$，$k\in Z$，

所以函数$f\left(x\right)$的图象与直线$y=1$相邻两个交点间的最短距离为$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$．

【点睛】

本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.

【专题训练】

一、单选题

（2019·天津河西区·高考模拟（理））

单选题 | 容易(0.94)

函数的值域为（       ）

A．[-2，2]	B．
C．[-1，1]	D．

2021-02-24更新 | 4237次组卷

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（2020·北京北大附中高三其他模拟）

2020·北京·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

若在上是增函数，则的最大值是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-11-05更新 | 1198次组卷 | 4卷引用：北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测数学试题

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（2020·四川泸州市·高三一模（理））

2021·四川泸州·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值

已知两点，是函数与轴的两个交点，且两点A，B间距离的最小值为，则的值为（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

2020-12-05更新 | 1237次组卷 | 8卷引用：四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试文科数学（一模）试题

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（2020·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（文））

2020·安徽芜湖·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

函数的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为（       ）

①的最小正周期为2； ②图象的一条对称轴为直线；③在上是减函数；④的最大值为.

A．①④

B．②③

C．①③

D．③④

2020-08-16更新 | 1041次组卷 | 4卷引用：安徽师范大学附属中学2020届高三下学期6月第九次模拟考试文科数学试题

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（2020·四川省泸县第四中学高三开学考试（理））

2020·四川成都·二模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心

已知函数则函数的图象的对称轴方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-04-09更新 | 1537次组卷 | 6卷引用：2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科数学试题

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（2020·四川成都市·石室中学高三月考（理））

2019·广西·二模

单选题 | 适中(0.65)

名校

设函数，下述四个结论：
①是偶函数；             
②的最小正周期为；
③的最小值为0；       
④在上有3个零点
其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①②

B．①②③

C．①③④

D．②③④

2019-12-27更新 | 2246次组卷 | 11卷引用：2019年12月广西壮族自治区广西柳州高级中学二模数学（理）试题

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（2020·陕西西安市·西安工业大学附中高三其他模拟（理））

21-22高三上·宁夏石嘴山·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题

关于函数，有以下4个结论：
①的最小正周期是；②的图象关于点中心对称；
③的最小值为；④在区间内单调递增．
其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①④

B．①③

C．②④

D．②③

2021-02-04更新 | 1206次组卷 | 2卷引用：宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期期末考试数学（理）试题

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（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））

2021·云南红河·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

已知函数，若，且，，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-10-24更新 | 861次组卷 | 2卷引用：云南省红河州第一中学2021届高三年级理科数学第一次联考试题

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（2019·福建省泰宁第一中学高三月考（理））

2018·福建泉州·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心 利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值

设函数（, ）的最小正周期为 ，且 ，则下列说法不正确的是

A．的一个零点为	B．的一条对称轴为
C． 在区间 上单调递增	D．是偶函数

2018-03-16更新 | 1337次组卷 | 5卷引用：福建省泉州市2018届高三下学期质量检查（3月）数学（理）试题

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（2020·河北衡水市·衡水中学高三其他模拟（理））

2020·河北衡水·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-09-19更新 | 2364次组卷 | 6卷引用：2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）试题

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二、多选题

（2021·海南高三二模）

2021·海南·二模

多选题 | 较易(0.85)

名校

已知函数，则（       ）

A．是奇函数	B．是周期函数且最小正周期为
C．的值域是	D．当时

2021-01-28更新 | 1983次组卷 | 5卷引用：海南省2021届高三年级第二次模拟考试数学试题

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（2021·全国高三专题练习）

2020·全国·模拟预测

多选题 | 容易(0.94)

名校

已知函数(为常数，)的图象有两条相邻的对称轴和，则下列关于函数的说法正确的是（       ）

A．的最大值为	B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增	D．的图象关于点对称

2020-11-25更新 | 3026次组卷 | 6卷引用：湖南省名校2021届高三下学期第二次大联考数学试题

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（2020·山东潍坊市·高三三模）

2020·山东潍坊·模拟预测

多选题 | 适中(0.65)

在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是

A．函数为周期函数，且最小正周期为

B．函数为奇函数

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的导函数的最大值为

2020-06-23更新 | 1633次组卷 | 4卷引用：山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试数学试题

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（2020·山东省平邑县第一中学高三其他模拟）

2020·山东临沂·模拟预测

多选题 | 适中(0.65)

在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（       ）

A．是偶函数，是奇函数

B．在为增函数，在为减函数

C．对于恒成立

D．函数对于恒成立

2020-06-21更新 | 894次组卷 | 2卷引用：山东省平邑县第一中学2020届高三下学期第八次调研考试数学试题

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三、填空题

（2020·北京高三专题练习）

19-20高三下·北京·阶段练习

填空题-单空题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值 利用图像平移求函数解析式或参数值

已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．

2020-05-19更新 | 2186次组卷 | 12卷引用：2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二试题

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（2020·湖南邵阳市·高三三模（理））

填空题 | 适中(0.65)

解题方法

换元法求三角函数最值或值域

早在两千多年前，我国数学专著《九章算术》中，就提出了宛田（扇形面积）的计算方法，“以径乘周，四而一”（直径与弧长乘积的四分之一）.已知半径为r的扇形的弧长为，面积为，设点在圆上，则函数的最小值为_________.

2020-08-07更新 | 874次组卷

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