专题09 排列、组合与二项式定理-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

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高三 2021-04-25 1203次

专题09 排列、组合与二项式定理

【要点提炼】

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法．则完成这件事共有N＝m₁＋m₂＋…＋m_n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m₁种不同的方法，做第二个步骤有m₂种不同的方法，……，做第n个步骤有m_n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m₁×m₂×…×m_n种不同的方法．

3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

4．排列与组合的概念

名称	定义
排列	从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素	按照一定的顺序排成一列
组合	从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素	合成一组

5．排列数与组合数

（1）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．

（2）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．

6．排列数、组合数的公式及性质

公式	（1）A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝．（2）C＝＝＝ (n，m∈N₊，且m≤n)．特别地C＝1
性质	（1）0！＝1；A＝n！．（2）C＝C；C＝C＋C

【方法指导】

1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路

（1）根据条件将要完成事件先分类；

（2）对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列；

（3）由分类加法计数原理计算总数．

2．特殊元素分析法和特殊位置分析法是解决排列组合问题的最有力的方法：

元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置；

3．求排列、组合问题的一般思路为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

4．求解形如 $（ a + b)^{n} {(c + d)}^{m}$ 的展开式问题的思路：

（1）若 $n, m$ 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 $（ a + b ）^{2} （ c + d)^{m} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) {(c + d)}^{m}$ ，然后展开分别求解；

（2）观察 $（ a + b) (c + d)$ 是否可以合并，如； ${(1 + x ）^{5} \cdot （ 1 - x)}^{7} = {[(1 + x) (1 - x)]}^{5} {(1 - x)}^{2} = {(1 - x^{2})}^{5} {(1 - x)}^{2}$ ;

（3）分别得到 ${(a + b)}^{n}, {(c + d)}^{m}$ 的通项公式，综合考虑．

5．利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值（包括符合）；

6．在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符合，然后将绝对值去掉，再进行赋值．

命题点一会解决简单的排列或组合问题

【典例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（）

A．6种 B．12种 C．24种 D．32种

【答案】D

【分析】

先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案．

【详解】

因为学生只能从东门或西门进入校园，

所以3名学生进入校园的方式共种．

因为教师只可以从南门或北门进入校园，

所以2名教师进入校园的方式共有种．

所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有种情况．

故选：D

【方法总结】

解决简单的排列与组合的综合问题的思路

（4）根据条件将要完成事件先分类；

（5）对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列；

（6）由分类加法计数原理计算总数．

【拓展练习】

1．（2021·湖北高三一模）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且两人安排在同一个地区，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）

A．86种 B．64种 C．42种 D．30种

【答案】D

【分析】

分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案．

【详解】

①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有种；

②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有种．

故满足条件的分法共有种．

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于在分类的基础上，先选后排，最后由分类加法计数原理得出不同的分配方法总数．

命题点二会解决有条件限制的排列与组合问题

【典例2】（2020·全国高三其他模拟（理））某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作．现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（）

A．30 B．60 C．90 D．150

【答案】D

【分析】

由题意，第一步分配医生：将医生甲派往医院，再往医院安排1名医生，则医院4名，再往医院安排2名医生，则医院3名，再往医院安排3名医生，则医院2名，按照分类相加原理可知分配医生有种方法；第二步分配护士有种方法；第三步将护士分配到医院有种方法，按照分步相乘原理即可得解．

【详解】

第一步：按题意6名医生有3种分配情况，医院2名，医院4名，医院3名，医院3名，医院4名，医院2名，共有种分配方案；

第二步：按题意将3名护士分成一组1名，一组2名，有种分配方案，

第三步：两组护士分别分配给两个医院有种分配方案

故不同的分配方案种数为，

故选：D．

【点睛】

思路点睛：本题考查排列组合与分步乘法计数原理，解决排列组合问题的一般过程：

（1）认真审题弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素．

【方法总结】

1．特殊元素分析法和特殊位置分析法是解决排列组合问题的最有力的方法：

元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置；

2．求排列、组合问题的一般思路为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

【拓展练习】

2．（2020·四川师范大学附属中学高三期中（理））某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（）种不同的结果．（）

A．36 B．27 C．24 D．18

【答案】A

【分析】

甲空掉足球，乙空掉篮球，再结合分步计数乘法原理求解即可

【详解】

由于甲不选足球，共有种选法，乙不选篮球，共有种选法，丙共有种选法，故共有种选法

故选：A

【点睛】

本题考查排列组合公式的应用，属于基础题

命题点三会求二项式展开式的指定项或指定项的系数

【典例3】（2021·江西高三其他模拟（理））在的展开式中，的系数是（）

A．20 B． C． D．

【答案】C

【分析】

将原式变形为，再根据的展开式的通项公式，分别令，求解．

【详解】

，

的展开式的通项公式为，

令时，的系数是；

令时，的系数是，

所以的展开式中，的系数是3-15=-12，

故选：C

【方法总结】

求解形如 $（ a + b)^{n} {(c + d)}^{m}$ 的展开式问题的思路：

（4）若 $n, m$ 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 $（ a + b ）^{2} （ c + d)^{m} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) {(c + d)}^{m}$ ，然后展开分别求解；

（5）观察 $（ a + b) (c + d)$ 是否可以合并，如； ${(1 + x ）^{5} \cdot （ 1 - x)}^{7} = {[(1 + x) (1 - x)]}^{5} {(1 - x)}^{2} = {(1 - x^{2})}^{5} {(1 - x)}^{2}$ ;

（6）分别得到 ${(a + b)}^{n}, {(c + d)}^{m}$ 的通项公式，综合考虑．

【拓展练习】

3．（2021·云南高三其他模拟（理）） $x {(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A．10 B． C．5 D．

【答案】B

【分析】

根据条件将问题转化为求求 ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的系数，利用生成法计算结果．

【详解】

要求的展开式中的常数项，只需求 ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的系数．

因为 ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的系数为，所以的展开式中常数项为．

故选：B

命题点四会求二项式展开式中的各项系数和

【典例4】（2021·广东韶关市·高三一模）已知，则（）

A． B．10 C． D．45

【答案】A

【分析】

由于，求出的通项，从而可求出的值

【详解】

，．

故选：A

【方法总结】

1．利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值（包括符合）；

2．在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符合，然后将绝对值去掉，再进行赋值．

【拓展练习】

4．（2020·武汉外国语学校高三其他模拟（理））的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x³的系数为（）

A．40 B．30 C．20 D．10

【答案】D

【分析】

根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数．

【详解】

∵的展开式中，各二项式系数和为2ⁿ＝32，∴n＝5．

再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）⁵＝243＝3⁵，∴m＝2，

则展开式中的通项公式为T_r₊₁•m⁵^﹣^r•，令53，可得r＝4，

故展开式中x³的系数为•2＝10，

故选：D．

【点睛】

本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题．

【专题训练】

一、单选题

2021·江西吉安·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

的展开式中

的系数为（）

A．

B．280

C．

D．210

2021-02-07更新 | 1061次组卷 | 6卷引用：江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）试题

A．各项系数之和为1	B．二项式系数之和为
C．存在常数项	D．的系数为12

第1节	第2节	第3节	第4节
地理1班	化学A层3班	地理2班	化学A层4班
生物A层1班	化学B层2班	生物B层2班	历史B层1班
物理A层1班	生物A层3班	物理A层2班	生物A层4班
物理B层2班	生物B层1班	物理B层1班	物理A层4班
政治1班	物理A层3班	政治2班	政治3班

A．此人有4种选课方式	B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节	D．自习可安排在4节课中的任一节

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