专题08 空间向量在立体几何中的应用
【要点提炼】
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则
（1）线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．
（2）线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．
（3）面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3．
（4）面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．
2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
（1）线线夹角
设l，m的夹角为θ
，则
cos θ＝
＝
．
（2）线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θ，则
sin θ＝|cosa，μ|＝
．
（3）面面夹角
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，
则|cos θ|＝|cosμ，v|＝
．
【方法指导】
1、用向量法解决空间中相关问题，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错．
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量．
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角．
2、二面角的求解主要有两种方法：
一是几何法，根据几何体的结构特征与线面位置关系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解；
二是向量法，直接利用二面角的两个半平面的法向量的夹角表示所求．前者的计算量小，但在确定二面角的平面角的过程中需要利用线面位置关系进行逻辑推理；后者计算量大，但逻辑推理的过程很少．
3、求解直线与平面所成角的方法：
（1）、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；
（2）、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；
（3）、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角．
4、利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
5、一般地，对于探索性问题的解答方法如下：
（1）可先假设所求的点存在，合理设元；
（2）然后建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量、面的法向量等；（3）结合已知条件列出有关线面夹角、面面夹角成立的含参方程；
（4）解方程，得出参数的值即可．
命题点一 会利用空间向量求异面直线所成的角或直线和平面所成的角
【典例1】（1） （2021·全国高三专题练习（文））
所成的角为
所成的角为
（2）（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）
中，底面ABCD是边长为
的正方形，平面
底面ABCD，
.
（1）求证：
；（2）点M，N分别在棱
，
，
，
，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值.
【知识点】 线面垂直证明线线垂直 线面角的向量求法
【方法总结】
1、求解直线与平面所成角的方法：
（1）、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；
（2）、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；
（3）、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角．
2、利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
【拓展练习】
（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））
，
，
，
中点，点
平面
；
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
命题点二会利用空间向量求二面角
【典例2】（2021·广东揭阳市·高三一模）
中，
，
，
.将
与
分别绕
，
旋转，使得点
，
相交于一点，设为点
，形成图2，且二面角
与二面角
都是45°.
（1）证明：平面
平面
；（2）若
，且梯形的面积为
，求二面角
的余弦值.
【方法总结】
1、二面角的求解主要有两种方法：
一是几何法，根据几何体的结构特征与线面位置关系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解；
二是向量法，直接利用二面角的两个半平面的法向量的夹角表示所求．前者的计算量小，但在确定二面角的平面角的过程中需要利用线面位置关系进行逻辑推理；后者计算量大，但逻辑推理的过程很少．
2、用向量法解决空间中相关问题，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错．
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量．
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角．
【拓展练习】
（2021·全国高三其他模拟）
，
平面
.
；
，求二面角
的余弦值.
命题点三会利用空间向量解决探究性的问题
【典例3】（2021·福建高三其他模拟）
中，底面是边长为
的菱形，
，
，
，
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；（2）线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
，若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由.
【知识点】 证明线面垂直 线面角的向量求法 空间线段点的存在性问题
【方法总结】
一般地，对于探索性问题的解答方法如下：
（1）可先假设所求的点存在，合理设元；
（2）然后建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量、面的法向量等；（3）结合已知条件列出有关线面夹角、面面夹角成立的含参方程；
（4）解方程，得出参数的值即可．
【拓展练习】
（2021·全国）
是边长为3的正方形，平面
平面，
.
（1）求证：平面
平面
；（2）在线段
上是否存在点，使得二面角
的大小为60°？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【专题训练】
一、单选题
（2020·河南高三其他模拟（理））
中，P为线段
上的动点，则直线
与直线
所成角余弦值的范围是（ ）
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 共面直线夹角的向量求法
（2018·浙江宁波市·高三三模）
中，点是棱上的动点（点可以运动到端点
和
），设在运动过程中，平面
与平面
所成的最小角为
，则
（ ）．
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 棱柱的结构特征和分类 面面角的向量求法
二、多选题
（2020·全国高三专题练习）（多选题）
中，
，
，点D，E分别是线段BC，
上的动点（不含端点），且
．则下列说法正确的是（ ）
A． 平面 |
B．该三棱柱的外接球的表面积为 |
C．异面直线与 所成角的正切值为 |
D．二面角 的余弦值为 |
【知识点】 球的表面积的有关计算 判断线面平行 求线面角 面面角的向量求法
三、填空题
（2020·吉林吉林市·高三零模（理））
中，
，
，
，
，则四面体的外接球的体积为四、解答题
（2021·江西高三其他模拟（理））
是
的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点C，
，D是的中点，
与
交于点E，F是上的一个动点．
（1）若
平面
，求
的值；（2）若F为
的中点，
，求直线与平面所成角的余弦值．
（2021·广东广州市·高三二模）
，
，
，
.
.将
沿
折起，得到四棱锥
(如图2)，使得
.
平面
；
的余弦值.
（2020·陕西汉中市·高三一模（理））
底面
平面
；
，（2020·江西高三其他模拟（理））
中，
.若
，
，
，且
（1）证明：平面
平面ABC；（2）若
，
，
，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为
.若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由.
（2020·广西高三其他模拟（理））
中，已知
为平行四边形
的中心，
为
的中点.
（1）求证：
平面；（2）若
在平面上的射影为四边形的中心，
，
，
，求平面
与平面所成二面角（平面角不大于
）的大小.
（2020·全国高三其他模拟）
中，
平面
，
，平面经过棱的中点，与棱
，
分别交于点
，，且
平面，
平面.
（1）证明：
平面；（2）若
，点在直线
上，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值的最大值.
