专题10 概率、统计与统计案例-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

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高三 2021-04-25 1196次

专题10 概率、统计与统计案例

【要点提炼】

1．抽样方法

抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样，两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．

2．统计中的四个数据特征

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

（2）中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

（3）平均数：样本数据的算术平均数，即＝ (x₁＋x₂＋…＋x_n)．

（4）方差与标准差．

s²＝ [(x₁－)²＋(x₂－)²＋…＋(x_n－)²]，

3．直方图的两个结论

（1）小长方形的面积＝组距×＝频率．

（2）各小长方形的面积之和等于1．

4．回归分析与独立性检验

（1）回归直线＝x＋经过样本点的中心(，)，若x取某一个值代入回归直线方程＝x＋中，可求出y的估计值．

（2）独立性检验

对于取值分别是{x₁，x₂}和{y₁，y₂}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

	y₁	y₂	总计
x₁	a	b	a＋b
x₂	c	d	c＋d
总计	a＋c	b＋d	n

则K²＝ (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

5．概率模型公式及相关结论

（1）古典概型的概率公式．

P(A)＝＝．

（2）条件概率．

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝＝．

（3）相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．

（4）若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，

P()＝1－P(A)．

【方法指导】

1、古典概型求解的关键点

（1）正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识；

（2）对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．

2、几何概型的适用条件及其关键

（1）适用条件：当构成实验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型；

（2）关键：寻找构成实验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

3、求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．运用公式 $P (A B) = P (A) P (B)$ 时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件 $A, B$ 相互独立时，公式才成立；

（2）正面计算较繁琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

4、平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

6、用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．

7、线性回归分析问题的类型及解题方法：

（1）、求线性回归方程：（1）利用公式，求出回归系数；（2）待定系数法：利用回归直线过样本的中心点求系数；

（2）、利用回归直线方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值；

（3）、利用回归直线判定正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数．

8、独立性检验应用的三个步骤：

（1）根据样本数据画出列联表；

（2）根据公式，计算的值；

（3）查表比较与临界值的大小关系，得出结论．

命题点一会求古典概型和几何概型

【典例1】（1）（2021·湖南永州市·高三二模）

2021·湖南永州·二模

单选题 | 容易(0.94)

名校

2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“

”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-17更新 | 1833次组卷 | 3卷引用：湖南省永州市2021届高三下学期二模数学试题

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（2）（2021·辽宁高三一模（文））

2021·辽宁·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

面积比解决几何概型问题

中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第

题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为

和

，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷

颗米粒（大小忽略不计，取

），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-06更新 | 906次组卷 | 6卷引用：宁夏石嘴山第三中学2022届高二上学期期中考试数学（理）试题

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【拓展练习】

（2021·广东揭阳市·高三一模）

2021·广东揭阳·一模

单选题 | 容易(0.94)

名校

中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-07更新 | 2561次组卷 | 8卷引用：广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试数学试题

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（2021·安徽安庆市·高三一模（理））

2021·安徽安庆·一模

单选题 | 容易(0.94)

名校

解题方法

面积比解决几何概型问题

蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论､方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率

（）

A．

B．

C．

D．

2021-02-28更新 | 1481次组卷 | 6卷引用：安徽省安庆市2021届高三下学期一模理科数学试题

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命题点二会求互相独立事件和独立重复实验的概率

【典例2】（2020·全国高三专题练习）

17-18高二下·重庆·期中

单选题 | 适中(0.65)

名校

西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的

赛，

、

两队各由

名选手组成，每局两队各派一名选手

，除第三局胜者得

分外，其余各胜者均得

分，每局的负者得

分．假设每局比赛

队选手获胜的概率均为

，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时

队的得分高于

队的得分的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2020-07-16更新 | 841次组卷 | 10卷引用：重庆市重庆一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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【拓展练习】

（2020·天津和平区·高三二模）

2020·全国·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为

、

元）．甲、乙租车费用为

元的概率分别是

、

，甲、乙租车费用为

元的概率分别是

、

，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2020-04-16更新 | 1020次组卷 | 5卷引用：2020届天津市和平区高考二模数学试题

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命题点三利用条件概率公式求概率

【典例3】（2020·贵州毕节市·高三其他模拟（理））

2020·贵州毕节·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用条件概率公式求解条件概率

现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用

表示事件“抽到的两名医生性别相同”，

表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则

A．

B．

C．

D．

2020-06-21更新 | 1882次组卷 | 7卷引用：贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（三）理科数学试题

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【拓展练习】

（2020·山西太原市·太原五中（理））

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用条件概率公式求解条件概率

甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为

，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2018-08-12更新 | 2072次组卷

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命题点四会解决用样本估计总体问题

【典例4】（2021·河南郑州市·高三一模（文））

2021·河南郑州·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有

多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”.河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果.某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取

个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示:

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
个数

（1）求

的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为

元/

；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示:

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
售价(元/)

从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好?并说明理由.

2021-01-10更新 | 1035次组卷 | 7卷引用：河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题

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【拓展练习】

（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））

解答题 | 较易(0.85)

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

某大学为调研学生在

、

两家餐厅用餐的满意度，从在

、

两家都用过餐的学生中随机抽取了

人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为

分.整理评分数据，将分数以

为组距分为

组：

、

，得到

餐厅分数的频率分布直方图和

餐厅分数的频数分布表：

餐厅分数的频数分布表
分数区间	频数
	2
	3
	5
	15
	40
	35

（1）在抽样的

人中，求对

餐厅评分低于

的人数；
（2）从对

餐厅评分在

范围内的人中随机选出

人，求

人中恰有

人评分在

范围内的概率.
（3）如果从

、

两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.

2021-01-16更新 | 1145次组卷

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命题点五会应用回归方程解决实际问题

【典例5】（2020·山东淄博市·高三零模）

2021·山东淄博·模拟预测

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程计算卡方进行独立性检验

我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．
（1）已知第

天的报名人数为

，求

关于

的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．
（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下

列联表：

	有兴趣	无兴趣	合计
男生	45	5	50
女生	30	20	50
合计	75	25	100

请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”
参考公式及数据：回归方程

中斜率的最小二乘估计公式为：

，

；

，其中

．

	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

2020-12-20更新 | 2022次组卷 | 6卷引用：山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）数学试题

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【拓展练习】

（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考（理））

19-20高三下·重庆渝中·阶段练习

解答题-应用题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用条件概率公式求解条件概率

2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量

（单位：十万只，

）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：


2.72	19	139.09	1095

注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中

，

.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线

的附近，请求y关于t的方程

，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是

，

.
参考数据：

2020-09-04更新 | 1529次组卷 | 6卷引用：重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九数学（理）试题

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命题点六会求解独立性检验的应用问题

【典例6】（2021·云南高三其他模拟（理））

2021·云南·模拟预测

解答题-应用题 | 较易(0.85)

解题方法

计算卡方进行独立性检验

针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：

人均可支配年收入(元) 电商扶贫年度总投入(万元)	(5000，10000]	(10000，15000]	(15000，20000]
(0，500]	5	3	2
(500，1000]	3	21	6
(1000，3000)	2	34	24

（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；
（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.

	人均可支配年收入≤10000元	人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
电商扶贫年度总投入超过1000万

附：

，其中

	0.050	0.01	0.005
	3.841	6.635	7.879

2021-03-03更新 | 1579次组卷 | 10卷引用：云南西南名校2021届高三下学期联考数学（理）试题

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【拓展练习】

（2020·四川内江市·高三一模（文））

2020·四川内江·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

计算卡方进行独立性检验列举法、列表法解决古典概型问题

网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．
（1）根据已知条件完成下面的

列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？

	网购迷	非网购迷	合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计

（2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．
（附：

）

	0.15	0.10	0.05	0.01
	2.072	2.706	3.841	6.635

2020-12-31更新 | 851次组卷 | 4卷引用：四川省乐山市2020-2021学年高三上学期第一次调查研究考试数学（文）试题

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【专题训练】

一、单选题

（2021·江西高三其他模拟（文））

2020高三·全国·专题练习

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

面积比解决几何概型问题

如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分．若往该图案内投掷一点，则该点落在图中空白处(非阴影部分)的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2021-04-01更新 | 660次组卷 | 6卷引用：江西省上饶市2021届高三年级第一次联考数学（文）试题

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（2021·广东梅州市·高三一模）

2021·广东梅州·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）

A．5000元

B．5500元

C．6000元

D．6500元

2021-03-26更新 | 2058次组卷 | 10卷引用：广东省梅州市2021届高三一模数学试题

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（2021·江苏盐城市·高三一模）

2021·江苏·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

计算卡方进行独立性检验

某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的

列联表.则根据列联表可知（）

	年轻人	非年轻人	总计
经常用流行语	125	25	150
不常用流行用语	35	15	50
总计	160	40	200

参考公式：独立性检验统计量

，其中

.
下面的临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

2021-03-01更新 | 1830次组卷 | 9卷引用：江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试数学试题

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（2021·福建高三其他模拟）

20-21高三下·全国·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

名校

投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得

分.投入壶耳一次得

分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得

分，乙投完

支箭，目前只得

分，乙投中壶口的概率为

，投中壶耳的概率为

.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-01更新 | 2487次组卷 | 15卷引用：福建省名校联盟优质校2021届高三大联考数学试题

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（2021·全国高三其他模拟）

2021·全国·模拟预测

单选题 | 容易(0.94)

名校

为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，

市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是

市2020年月份代码

与夜市的地摊摊位数

(单位：万个)的统计数据：

月份	4月	5月	6月	7月	8月
月份代码	1	2	3	4	5
摊位数(万个)	290	330		440	480

若

与

线性相关，且求得其线性回归方程为

，则表中

的值为（）

A．340

B．360

C．380

D．无法确定

2021-03-03更新 | 1182次组卷 | 5卷引用：福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题

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（2021·全国高三其他模拟）

2021·全国·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

甲､乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为（）

A．0.6

B．0.4

C．0.36

D．0.144

2021-03-02更新 | 1785次组卷 | 4卷引用：江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题

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（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））

2021·江西上饶·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

疫情防控期间，上饶市某医院从3名呼吸科､3名重症科和2名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，则该院呼吸科､重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-17更新 | 835次组卷 | 2卷引用：江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题

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二、多选题

（2021·湖南永州市·高三二模）

2021·湖南永州·二模

多选题 | 较易(0.85)

名校

下列说法正确的是（）

A．线性回归方程

对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

B．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为

C．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为

，则应从高二年级中抽取20名学生

D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件

2021-03-06更新 | 1351次组卷 | 7卷引用：湖南省永州市2021届高三下学期二模数学试题

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（2021·湖北高三一模）

2021·湖北·一模

多选题 | 较易(0.85)

名校

为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取

位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（）

A．甲、乙两组成绩的平均分相等	B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等	D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

2021-02-07更新 | 2158次组卷 | 12卷引用：湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练数学试题

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（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）

20-21高二·全国·单元测试

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用条件概率公式求解条件概率利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

2021-01-06更新 | 5505次组卷 | 16卷引用：湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考(六)数学试题

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三、填空题

（2021·福建漳州市·高三其他模拟）

2021·福建漳州·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宣肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.