专题15 圆锥曲线中的热点问题
【要点提炼】
1、圆锥曲线常考查的几何量
(1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；
(2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；
(3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系；
(4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系；
(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.
2、圆锥曲线中的范围、最值问题：可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.
3、圆锥曲线中的定点、定值问题：
(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.
(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.
4、圆锥曲线中的存在性问题。
【方法指导】
1、求解圆锥曲线中范围、最值问题的主要方法：
（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解。
（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围。
2、解决圆锥曲线中定点问题的基本方法：
（1）假设定点的坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关时得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求的定点。
若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
（2）从特殊位置入手，找出定点，在证明该点满足条件。
3、解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点：
（1）分清题目中哪些量是定的，那些量是变动的；
（2）注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；
（3）“先猜后证“，也就是利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了证明的方向。
4、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。
5、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。
6、圆锥曲线中的证明问题主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上，某直线经过某个点，某两条直线平行或垂直；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或者不等）。
7、在证明问题时，主要依据直线、圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，把几何条件恰当地转化为代数式子，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算进行证明。
8、在证明圆锥曲线中的等量关系时，要选择合适的参数（如直线的斜率、点的坐标等），通过相关的性质、代数式的恒等变形以及必要的数值计算，把所涉及的量都用这个参数来表示，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行计算推证。
9、解决存在性问题的注意事项：
（1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在；
（2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。
命题点一 会解决圆锥曲线中的最值或取值范围问题
的左右焦点分别为
.点
在椭圆上；直线
交
轴于点
.且
.其中
为坐标原点.（1）求椭圆
的方程;（2）直线
斜率存在，与椭圆交于
两点，且与椭圆
有公共点，求
面积的最大值.
【知识点】 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积
【拓展练习】
的左，右焦点分别为
，
，点P为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形.（1）求椭圆E的离心率；
（2）若
，设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点，与椭圆E相交于A､B两点，与圆
相交于C､
两点，求
的取值范围.
命题点二 会解决圆锥曲线中的定点问题
，为原点，点
是
轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于
，离心率为
．（1）求椭圆
的方程；（2）直线
与椭圆交于两个不同点
、
，已知关于轴的对称点为
，关于原点的对称点为
，若、满足
，求证：直线经过定点．
【知识点】 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中的直线过定点问题
【拓展练习】
经过点
，且离心率
.（1）求椭圆
的方程；（2）已知斜率存在的直线l与椭圆相交于A，B两点，点
总满足
，证明：直线l过定点.
【知识点】 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中的直线过定点问题
命题点三 会解决圆锥曲线中的定值问题
：
的焦点是F，若过焦点的直线与相交于P，Q两点，所得弦长
的最小值为4.（1）求抛物线
的方程；（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若
，
，M为垂足，证明：存在定点N，使得
为定值.
【拓展练习】
的右焦点，过点
的直线与椭圆C交于
两点.
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线
的方程；（2）设直线
的斜率分别为
，
，求证：
为定值.
【知识点】 求直线与椭圆的交点坐标 椭圆中的定值问题
命题点四 会证明空间中的点、线的位置关系
为中心的椭圆的焦点在轴上，
为的上顶点，且的长轴长和短轴长为方程
的两个实数根.（1）求
的方程与离心率；（2）若点
在上，点在直线
上，
，且
，求点的坐标.
【拓展练习】
的离心率为
，椭圆的中心O关于直线
的对称点落在直线
上．（1）求椭圆
的方程；（2）设
，M、N是椭圆上关于x轴对称的任意两点，连接
交椭圆于另一点E，求直线的斜率范围并证明直线
与x轴相交定点．
命题点五 会证明圆锥曲线中的等量关系
的左顶点为
，右焦点为
，动点在上．当
时，
．（1）求
的离心率；（2）若
在第一象限，证明：
．
【拓展练习】
在抛物线
上，直线
与抛物线有两个不同的交点.（1）求
的取值范围；（2）设直线
与抛物线的交点分别为、，过点作与的准线平行的直线，分别与直线
和
交于点和（为坐标原点），求证：
.
命题点六 会解决圆锥曲线中的存在性问题
的距离与到直线
的距离之比为.（1）求动点
的轨迹的标准方程；（2）过点
的直线l交于M，N两点，已知点
，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问在
轴上是否存在一点G，使得
？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
【知识点】 轨迹问题——椭圆 椭圆中存在定点满足某条件问题
【拓展练习】
的焦点为
四边形
为正方形，点在抛物线
上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线
于点.
（1）若
为线段
的中点，求直线的斜率；（2）若正方形
的边长为
，直线
，
，
的斜率分别为，
，
，则是否存在实数
，使得
？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
【知识点】 与抛物线焦点弦有关的几何性质 抛物线中的定值问题
【专题训练】
的离心率是，椭圆C过点
.（1）求椭圆
的方程；（2）已知
是椭圆的左、右焦点，过点的直线l（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求
的取值范围.
【知识点】 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆中的最值问题 椭圆中向量点乘问题
，
是椭圆E：
长轴的两个端点，点
在椭圆E上，直线
，
的斜率之积等于-4.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设
，直线l方程为
，若过点
的直线与椭圆E相交于A，B两点，直线MA，MB与l的交点分别为H，G，线段GH的中点为N.判断是否存在正数m使直线MN的斜率为定值，并说明理由.
【知识点】 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中的定值问题
两点的坐标分别为
，直线
相交于点M且它们的斜率之积是
，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；
（2）过点
作直线交曲线E于
两点，且点P位于x轴上方，记直线
的斜率分别为
．①证明：
为定值；②设点Q关于x轴的对称点为
，求
面积的最大值．
：
与轴交于点，且
，其中为坐标原点，为抛物线
：
的焦点.（1）求拋物线
的方程；（2）若直线
与抛物线相交于
，两点(在第一象限)，直线
，
分别与抛物线相交于，两点（
在的两侧），与轴交于，两点，且为
中点，设直线，的斜率分别为，，求证：
为定值；（3）在（2）的条件下，求
的面积的取值范围.
：
，直线l：
过椭圆的左焦点F，与椭圆在第一象限交于点M，三角形
的面积为
，A、B分别为椭圆的上下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点（1）求椭圆
的标准方程；（2）直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，若
，问直线
是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由.
【知识点】 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中的直线过定点问题
中，设点，直线
，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，
，
．
（1）求动点Q的轨迹
的方程；（2）直线
与曲线交于A，B两点，求证：．
【知识点】 求抛物线的轨迹方程 直线与抛物线交点相关问题
与过点
的直线相交于P，Q两个点．（1）求证：
；（2）试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称．若存在，求出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
【知识点】 抛物线中存在定点满足某条件问题 根据韦达定理求参数
上两点，且线段AB的中点在直线
上.（1）求直线AB的斜率；
（2）设直线
与抛物线交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为，当直线AB经过抛物线的焦点F时，求
的值.
【知识点】 抛物线中的定值问题 根据抛物线的方程求参数
