专题17 函数图像与应用
【要点提炼】
1．函数的图象
（1）对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．
（2）在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究．
（3）函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
2．函数的性质
（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
（2）奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)．
②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0．
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．
（3）周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数．
②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数．
③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数．
④若f(x＋a)＝－f(x)
，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数．
易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
【方法指导】
1、已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．
2、（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常通过数形结合研究．
3、1．函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型：（1）函数零点值大致存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象的交点的横坐标或有几个交点的确定.2．判断函数零点个数的主要方法：（1）解方程f(x)=0，直接求零点；（2）利用零点存在性定理；（3）数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象的交点问题．
4、解决函数实际应用题的两个关键点：（1）认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．（2）要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
命题点一：函数的图象及应用
考向一函数的图象
【典例1】（2021·江苏高三月考）
的部分图象大致是（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数奇偶性的定义与判断解读 函数图像的识别
【拓展练习】
（2021·浙江省武义第三中学高三月考）
的图像不可能是（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数图像的识别
（2021·全国高三开学考试（文））
的图象大致为（ ）A．  | B．  |
C．  | D．  |
【知识点】 函数奇偶性的应用 函数图像的识别 用导数判断或证明已知函数的单调性
考向二函数图象的应用
【典例2】（2020·北京密云区·高三期中）
上可找到
个不同的数
、
、
、
，使得
，则
的取值为（
【拓展练习】
（2021·全国高三专题练习（文））
(
).设关于x的不等式
的解集为集合A.若
，则实数a的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数图象的应用
（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
都有
，则实数m的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数图象的应用 函数不等式恒成立问题
命题点二：函数的零点与方程
考向一确定函数零点个数或零点所在区间
【典例3】（2020·全国高三专题练习）
，则函数
的零点的个数为（【拓展练习】
（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））
的零点为
（2021·浙江高三学业考试）
，则函数
的零点个数是（
考向二根据函数的零点求参数的取值范围
【典例4】（2021·福建龙岩市·高三期中）
在R上没有零点，则
的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 根据函数零点的个数求参数范围
【拓展练习】
（2021·天津高三期末）
，若函数
有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）．A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 根据二次函数零点的分布求参数的范围 奇偶函数对称性的应用
（2021·安徽六安市·高三一模（理））
（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
命题点三：函数的应用
【典例5】（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））
．已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
（1）写出2013年第x月份的旅游人数
(单位：人)与x的函数关系式；（2）试问2013年第几月份旅游消费总额最大，最大月份旅游消费总额为多少万元？
【拓展练习】
（2020·安徽高三月考（理））
万元时，销售量为
万个单位，且
（
，为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育万个单位还需要投入成本
万元（不含展销费），花卉的销售价定为
万元/万个单位．（1）写出该花卉基地的销售利润
万元与展销费万元的函数关系；（2）展销费
为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：利润=销售价×销售量-投入成本-展销费）
【知识点】 建立拟合函数模型解决实际问题
（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）
(微克)与时间
(小时)之间的关系可由函数
拟合(
).（1）当
时，求使得
的的取值范围；（2）研究人员按照
的值来评估该药的疗效，并测定
时此药有效，若某次服药后测得
时每毫升血液中的含药量为6微克，求此次服药产生疗效的时长.
【知识点】 利用给定函数模型解决实际问题
【专题训练】
一、单选题
（2021·四川高三月考（理））
的大致图象为（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数奇偶性的定义与判断解读 函数图像的识别 指数函数图像应用
（2021·江苏盐城市·高三一模）
在其定义域上的图象大致为（ ）A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 函数奇偶性的定义与判断解读 函数图像的识别
（2021·江苏常州市·高三开学考试）
，A>0，
>0，k，b
R，则函数在区间(﹣
，)上的零点最多有（ ）| A．4个 | B．5个 | C．6个 | D．7个 |
【知识点】 函数图象的应用 正弦函数图象的应用解读 求函数零点或方程根的个数
（2021·广西梧州市·高三其他模拟（文））
，若函数
有4个零点，则实数
的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））
，若关于x的方程
恰好有4个不相等的实根，则m取值范围是（ ）A．  | B．  | C．  | D．  |
（2019·平罗中学高三月考（文））
零点所在区间为A． | B． | C． | D． |
【知识点】 判断零点所在的区间
（2021·河北区·天津十四中高三开学考试）
与
的图象交点为
，则
所在区间是（ ）．A． | B． | C． | D． |
【知识点】 零点存在性定理的应用
（2021·天津静海区·静海一中高三期末）
有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 根据函数零点的个数求参数范围
二、多选题
（2021·全国高三零模）
，则（ ）A．在 单调递增 |
| B．有两个零点 |
C．曲线 在点 处切线的斜率为 |
| D．是偶函数 |
（2021·山东高三专题练习）
的图像在R上连续不断，且满足
，
，
，则下列说法错误的是（ ）| A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 |
| B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 |
| C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 |
| D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 |
【知识点】 零点存在性定理的应用
（2020·嘉祥县第一中学高三月考）
，已知
在
有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ ）．A．在 有且仅有3个极大值点 | B．在有且仅有2个极小值点 |
C．在 单调递增 | D． 的取值范围是 |
（2020·河北省尚义县第一中学高三期中）
若函数
恰有2个零点，则实数m可以是（ ）A． | B．0 | C．1 | D．2 |
【知识点】 根据函数零点的个数求参数范围
第II卷（非选择题）
三、填空题
（2021·浙江绍兴市·高三期末）
，
，若函数
只有唯一零点，则实数（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）
，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是【知识点】 根据函数零点的个数求参数范围
四、解答题
（2020·福建漳州市·龙海二中高三月考）
（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为
元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）
元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为
（单位：元）.(1)求
的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
（2020·山东菏泽市·高三期中）
时，该公司对函数模型的基本要求是：当
时，①是增函数；②
恒成立；③
恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：①
；②
.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数
符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
【知识点】 利用给定函数模型解决实际问题 建立拟合函数模型解决实际问题
