专题06 空间几何体的表面积与体积-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

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高三 2021-04-25 1176次

专题06空间几何体的表面积与体积

【要点提炼】

1.空间几何体的两组常用公式

（1）柱体､锥体､台体､球的表面积公式：

①圆柱的表面积S=2πr(r+l)；

②圆锥的表面积S=πr(r+l)；

③圆台的表面积S=π(r′²+r²+r′l+rl)；

④球的表面积S=4πR².

（2）柱体､锥体和球的体积公式：

①V_柱体=Sh(S为底面面积，h为高)；

②V_锥体=Sh(S为底面面积，h为高)；

③V_球=πR³.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球､内切球､棱切球的半径分别为a，，a.

【方法指导】

1､由几何体的三视图求其表面积

（1）分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；

（2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.

2､求空间几何体表面积的常见类型及思路：

（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；

（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径､母线长与对应侧面展开图中的边长关系；

（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体､锥体､台体，先求出这些基本的柱体､锥体､台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；

（4）由三视图求几何体的表面积：关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用公式求解.

3､求空间几何体的体积的求法：

（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.

4､解答多面体与球的组合体内接与外接问题的策略：

（1）几何体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在几何体中的位置，找到球的半径或直径与几何体相关元素之间的关系，结合原有几何体的特征求出球的半径.常见的方法是将几何体还原到正方体或长方体中去求解.

（2）球的截面问题，需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面，然后利用性质解三角形求出球的半径.

5､解决与球有关的切､接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球､几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.

命题点一会求空间几何体的表面积

【典例1】（1）(2020·四川泸州市·高三一模(理))下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（）

A. $\sqrt{10} π$ B. $8 π$ C. $9 π$ D. $10 π$

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.

【详解】

由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，

∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，

故几何体的侧面积为 $S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2}} \cdot 2 π = \sqrt{10} π$ ，

故选：A

（2）(2020·云南高三其他模拟(理))一个多面体的三视图如图所示，其正视图､侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为（）

A. $8 + 4 \sqrt{2}$ B.12 C. $16 + 8 \sqrt{2}$ D. $12 + 2 \sqrt{2}$

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据三视图还原得到几何体的直观图，判定几何体为一条侧棱垂直于底面的倒立的四棱锥，结合三视图判定各侧面的形状，进一步计算可得表面积.

【详解】

根据三视图，可得立体图形如图所示：

其中底面 $A B C D$ 为正方形，边长为2，

侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A B$ ， $P A D$ 都是直角边长为2的等腰直角三角形，

侧面 $P B C, P D C$ 分别是以 $∠ P B C$ 和 $∠ P D C$ 为直角的直角三角形，

则 $S_{表面积} = 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2} \times 2 = 8 + 4 \sqrt{2}$ .

故选：A.

【点睛】

本题考查由几何体的三视图求其表面积，还原几何体并判定各侧面的几何形状是关键，属基础题.

【方法总结】

1､由几何体的三视图求其表面积

（1）分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；

（2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.

2､求空间几何体表面积的常见类型及思路：

（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；

（4）由三视图求几何体的表面积：关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用公式求解.

【拓展练习】

(2021·陕西宝鸡市·高三一模(理))

2021·陕西宝鸡·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用三视图求直观图的面积

某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为

A．

B．

C．

D．

2021-01-19更新 | 751次组卷 | 6卷引用：陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)理科数学试题

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命题点二会求空间几何体的体积

【典例2】(2021·江西高三其他模拟(理))如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形， $E F / / A B$ ， $A B = 3 E F = \frac{3}{2} A D = 3$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是正三角形，则该五面体的体积为（）

A. $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ B. $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

【答案】A

【解析】

【分析】

把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.

【详解】

过点 $F$ 作 $F O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，垂足为 $O$ ，取 $B C$ 的中点 $P$ ，连接 $P F$ ，

过点 $F$ 作 $F Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ，连接 $O Q$ ，交 $C D$ 于 $G$ ，得到四棱锥 $F - B C G Q$ ，

同理得到四棱锥 $E - A D M N$ ，可得 $V_{F - B C G Q} = V_{E - A D M N}$ ，

如图所示，因为 $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是边长为2的等边三角形，

所以 $O P = \frac{1}{2} (A B - E F) = 1, P F = \sqrt{3}, O Q = \frac{1}{2} B C = 1$ ，

可得 $O F = \sqrt{P F^{2} - O P^{2}} = \sqrt{2}$ ，

所以 $V_{E - A D M N} = V_{F - B C G Q} = \frac{1}{3} S_{B C G Q} \cdot O F = \frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，

中间部分三棱柱 $F G Q - E M N$ 为直三棱柱，

其体积为 $V_{F G Q - E M N} = S_{△ F G Q} \times E F = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ ，

所以该五面体的体积为 $V = V_{F G Q - E M N} + V_{E - A D M N} = V_{F - B C G Q} = \sqrt{2} + 2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{7 \sqrt{2}}{3}$ .

故选：A.

【方法总结】

求空间几何体的体积的求法：

（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；

（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.

【拓展练习】

(2021·福建漳州市·高三其他模拟)

2021·福建漳州·一模

填空题-单空题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

几何体体积的求法

如图，在梯形

中，

，

.取

的中点

，将

沿

折起，使二面角

为

，则四棱锥

的体积为___________.

2021-03-02更新 | 1416次组卷 | 10卷引用：福建省漳州市2021届高三毕业班下学期第一次教学质量检测数学试题

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命题点三会解决球的内切和外接问题

【典例3】（1）(2021·江西上饶市·高三一模(理))在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $△ B C D$ 是边长为3的正三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A. $21 π$ B. $6 π$ C. $24 π$ D. $15 π$

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出 $△ B C D$ 的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，进而得出表面积.

【详解】

设 $△ B C D$ 的外接圆圆心为 $O_{1}$ ，半径为 $r$ ，该三棱锥的外接球的球心为 $O$ ，半径为 $R$

∵ $\frac{3}{\sin 60 °} = 2 r$ ， $∴ r = \sqrt{3}$ ， $∵ O O_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，∴ $R^{2} = O O_{1}^{2} + r^{2} = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$

∴ $S_{表} = 4 π R^{2} = 4 π \times \frac{15}{4} = 15 π$

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理求出 $△ B C D$ 的外接圆的半径，结合勾股定理得出三棱锥的外接球的半径.

（2）(2020·江西吉安市·高三其他模拟(理))已知 $A$ ､ $B$ ､ $C$ ､ $D$ 四点都在表面积为 $100 π$ 的球 $O$ 的表面上，若 $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则球 $O$ 内接三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值为（）

A. $\frac{12 \sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{32}{3}$ C. $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{64}{3}$

【答案】C

【解析】

【分析】

根据球O的表面积，可求得其半径R，根据题中条件，可求得 $△ A B C$ 的外接圆半径为r，即可得D到平面ABC的最大距离，在 $△ A B C$ 中，利用余弦定理，结合基本不等式，可求得 $A B \cdot A C$ 的最大值，即可求得 $△ A B C$ 面积最大值，代入公式，即可求得答案.

【详解】

因为球O表面积为 $100 π$ ，所以 $4 π R^{2} = 100 π$ ，解得球O的半径R=5，

因为 $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，设 $△ A B C$ 的外接圆半径为r，

所以 $\frac{4 \sqrt{3}}{\sin 120 °} = 2 r$ ，所以 $r = 4$ ，如图所示：

所以 $|O O^{'}| = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$ ，则D到平面ABC的最大距离为 $D O^{'} = 3 + R = 8$ ，

在 $△ A B C$ 中， $\cos ∠ B A C = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B \cdot A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - 48}{2 A B \cdot A C} = - \frac{1}{2}$ ，

所以 $A B^{2} + A C^{2} = 48 - A B \cdot A C \geq 2 A B \cdot A C$ ，

所以 $3 A B \cdot A C \leq 48$ ， $A B \cdot A C \leq 16$

当且仅当 $A B = A C$ 时，等号成立，

所以 $△ A B C$ 面积的最大值 $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin ∠ B A C = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}$ ，

所以三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值 $V = \frac{1}{3} S_{△ A B C} \cdot D O^{'} = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times 8 = \frac{32 \sqrt{3}}{3}$ ，

故选：C

【点睛】

解题的关键是根据余弦定理和基本不等式，求得 $△ A B C$ 面积的最大值，再结合图象求得D到平面ABC的最大距离，即可求解，考查数形结合，计算化简的能力，属中档题.

【方法总结】

1､解答多面体与球的组合体内接与外接问题的策略：

（2）球的截面问题，需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面，然后利用性质解三角形求出球的半径.

2､解决与球有关的切､接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球､几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.

【拓展练习】

(2021·安徽安庆市·高三一模(文))

2021·安徽安庆·一模

单选题 | 较易(0.85)

四面体

中，

，

，且

面

，则四面体

的外接球表面积为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-04更新 | 1608次组卷 | 7卷引用：安徽省安庆市2021届高三下学期一模文科数学试题

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(2021·广东广州市·高三二模)

2021·广东广州·二模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

已知三棱锥

中，

，

为

的外接圆的圆心，

，则三棱锥

的外接球的表面积为___________.

2021-03-07更新 | 2130次组卷 | 6卷引用：广东省广州市天河区2021届高考二模数学试题

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【专题训练】

一､单选题

(2021·宁夏吴忠市·高三一模(理))

2021·宁夏吴忠·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）

A．

B．

C．

D．

2021-02-04更新 | 1010次组卷 | 5卷引用：宁夏吴忠市2021届高三一轮联考数学（文）试题

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(2021·安徽蚌埠市·高三二模(文))

2021·安徽蚌埠·二模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题

已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

2021-02-03更新 | 1095次组卷 | 5卷引用：安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查文科数学试题

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(2020·江西吉安市·高三其他模拟(文))

2021·江西吉安·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用三视图求直观图的体积

某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）

A．4

B．3

C．5

D．6

2021-02-05更新 | 729次组卷 | 2卷引用：江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（文）试题

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(2021·全国高三其他模拟)

2021·全国·模拟预测

单选题 | 较难(0.4)

已知在菱形

中，

，将菱形

沿对角线

折起，得到三棱锥

，且使得棱

，则三棱锥

的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

2021-03-03更新 | 2231次组卷 | 6卷引用：福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

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(2021·全国高三其他模拟)

2021·全国·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

我国古代数学名著《九章算术》卷五“商功”中有这样一题：今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？其意思是：现有堤坝，下底长为2丈，上底长为8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤坝的体积是多少？在这个问题中，若某施工队的日工作量不少于350立方尺，但不超过400立方尺，则该施工队完成这段堤坝的天数不可能为（）(注：一丈=十尺)

A．20天

B．19天

C．18天

D．16天