专题02 三角恒等变换

【要点提炼】

三角函数公式：

（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

tan(α±β)＝．

（2）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α．

（3）辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝．

【方法指导】

常见三角恒等变换的技巧：

1．“角变换”技巧：角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角的”的“和、差、倍角”，然后运用相应的公式求解；

2．“名变换”技巧：名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式、平方关系也能进行名变换；

3．“常数变换”技巧：在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ ，$1=\tan {45}^{\circ }$ ，$\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{3}$ 等；

4．“升降幂变换“技巧：当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：$1\pm \sin x={(\sin \frac{x}{2}\pm \cos \frac{x}{2})}^2$ ，$1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$ ，$1-\cos x=2si{n}^2\frac{x}{2}$，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”；

5．“公式变用”技巧：几乎所有公式都能变形用或逆向用，如$\sin \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2\cos \alpha }$ 、$\cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2\sin \alpha }$、$\tan \alpha \pm \tan \beta =\tan (\alpha \pm \beta )(1\mp \tan \alpha \tan \beta )$ 等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧；

6．“辅助角变换”技巧：通常把$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，来研究其图象与性质；

7．“换元变换”技巧：有些函数，式子里同时出现$\sin x+\cos x$（或$\sin x-\cos x$）与$\sin x\cos x$，这时，可设$t=\sin x+\cos x$（或$t=\sin x-\cos x$，则$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$（或$\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$，把三角函数转化为熟悉的函数求解．

命题点一 三角恒等变换与求值、求角问题

【典例1】（1）．（2021·全国高三专题练习）已知，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值．

【详解】

因为，所以，

而

，

故选：B．

（2）（2020·全国高三专题练习）已知，若，且$\beta \in \left(0,\pi \right)$，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由得到，用两角和的正弦公式的正用和逆用得到求解．

【详解】

当时，等价于，

所以

即，

因为$\beta \in \left(0,\pi \right)$，

所以，

所以，

解得．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查两角和正弦公式的正用和逆用以及求角问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．

【方法总结】

解决条件求值问题的三个关注点：

1．分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；

2．正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示；

3．求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

【拓展练习】

1．（2020·全国高一单元测试）已知，，且，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果．

【详解】

且，，．

又，，．

当时，

，

，，不合题意，舍去；

当，同理可求得，符合题意．

综上所述：．

故选：．

【点睛】

易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误．

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数（），且（），则______．

【答案】

【分析】

解法一：不妨假设，由题意可得，，再利用，以及和差化积公式求得，求得，从而求得的值．

解法二：利用正弦函数的图象的对称性可得，由此求得的值．

【详解】

解：解法一：∵函数（），

．

，（），

不妨假设，则，，

，

，，．

再根据

，

，或，

则（舍去）或，

故答案为：．

解法二：∵函数（），

．

（），

则由正弦函数的图象的对称性可得：，

即，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查正弦函数的定义域和值域，和差化积公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．

命题点二 三角恒等变换与三角函数性质问题

【典例2】（2020·汪清县汪清第六中学高三三模（理））已知函数．

（1）求的值．

（2）求$f(x)$的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（1）2；（2）$T=\pi$;单调递增区间是．

【分析】

（1）首先利用二倍角公式化简函数，并代入求值；（2）由（1）可知，根据公式求最小正周期，以及整体代入求单调递增区间．

【详解】

（1），

；

（2），函数的最小正周期$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，

令，

解得，，

所以函数的单调递增区间是．

【点睛】

易错点睛：本题第二问，，所以根据复函函数单调性的规律，求函数的单调递增区间，则，，这一点容易忽略．

【方法总结】

将$\text{y=}a\sin x+b\cos x$ 化为$y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称轴等性质．

【拓展练习】

3．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知函数．

（1）求$f(x)$的最小正周期及$f(x)$的图象的对称轴方程；

（2）若，，求$f(x)$的取值范围．

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，；（2），．

【分析】

（1）将$f(x)$化为，然后可求出答案；

（2）由，可得，，然后可得答案．

【详解】

（1）

，

的最小正周期$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，

令，，可得，，即$f(x)$的图象的对称轴方程为，．

（2），，

，，

，，可得，．

【点睛】

本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单．

命题点三 三角恒等变换与解三角形问题

【典例3】（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））在锐角中，内角，，$C$所对的边分别为，，，且直线为函数图象的一条对称轴．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数的解析式进行化简、变形，然后再求出对称轴，确定的值．

（2）根据的值，再结合余弦定理，找到的关系式，再根据不等式确定的最大值，然后可根据求出面积的最大值．

【详解】

（1），

∴直线为函数图象的一条对称轴，

∴()，

即()，又，

∴当时，．

（2）∵，，

∴由余弦定理得，，即，当且仅当b=c=4时等号成立

∴，

故面积的最大值为．

【点睛】

本题的关键点为：

通过降幂公式和辅助角公式，将函数变形为的形式，即可求出对称轴．

三角形的面积公式

【方法总结】

关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及其有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．

【拓展练习】

4．（2020·陕西西安市·高新一中高三期末（理））已知函数．

（1）求$f(x)$的最小正周期和单调递增区间；

（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，，若，，求AM．

【答案】（1）最小正周期为；增区间为$(k\in Z)$（2）

【分析】

（1）用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简$f(x)$，即可求出周期，利用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求出函数递增区间；

（2）求出，以为基底，将表示为，转化为求向量的模长，即可得出结论．

【详解】

解：（1）

．

令，

所以增区间为$(k\in Z)$；

（2），

，

，

，

所以．

【点睛】

本题考查三角函数化简，以及三角函数的性质，考查用向量的方法求边长，属于中档题．

【专题训练】

一、单选题

2021·广西·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

已知三角函数值求函数值

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-17更新 | 2246次组卷 | 4卷引用：广西名校2021届高三大联考（三）数学（文）试题

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2021·河南·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

若角的终边在直线上，则（       ）

A．2

B．

C．

D．1

2021-02-04更新 | 1234次组卷 | 4卷引用：河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二数学（理）试题

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20-21高三上·安徽滁州·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题

将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（     ）

A．在区间[0，]上单调递增

B．最小正周期为

C．图象关于对称

D．图象关于(，0)对称

2021-02-04更新 | 1486次组卷 | 7卷引用：安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题

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2018·贵州遵义·二模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

已知三角函数值求函数值

若，且，则（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-12-08更新 | 1600次组卷 | 5卷引用：贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学（理）试题

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2021·海南·二模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

已知三角函数值求函数值

古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-27更新 | 2995次组卷 | 13卷引用：海南省2021届高三年级第二次模拟考试数学试题

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2021·江西·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值

已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-06更新 | 1621次组卷 | 7卷引用：江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（文）试题

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单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值 利用三角恒等变换解决三角函数性质问题

将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-01更新 | 4030次组卷

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2020·湖南衡阳·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-10-15更新 | 1025次组卷 | 4卷引用：2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次模拟文科数学试题

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二、多选题

2020·全国·模拟预测

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题

已知函数的一条对称轴为，函数在区间上具有单调性，且，则下述四个结论正确的是（　　）

A．实数的值为1

B．和两点关于函数图象的一条对称轴对称

C．的最大值为

D．的最小值为

2020-04-14更新 | 1192次组卷 | 6卷引用：河北省石家庄五校联合体2021届高三上学期12月质量检测数学试题

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2020·全国·模拟预测

多选题 | 较易(0.85)

名校

已知，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值为	B．的最小值为
C．的最大值为	D．的最大值为

2020-07-25更新 | 1355次组卷 | 9卷引用：辽宁师范大学附属中学2020-2021学年高三10月模块考试数学试题

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2020·山东潍坊·模拟预测

多选题 | 容易(0.94)

名校

解题方法

定义法求三角函数值 分类与整合思想

已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-07-25更新 | 2039次组卷 | 10卷引用：山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题数学试题

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2020·山东潍坊·模拟预测

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

数形结合思想

已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（       ）

A．f（x）的图象关于直线对称

B．f（x）的周期为

C．（π，0）是f（x）的一个对称中心

D．f（x）在区间上单调递增

2020-03-17更新 | 2791次组卷 | 14卷引用：2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟试题（二）

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三、填空题

2020·山西运城·模拟预测

填空题-单空题 | 较易(0.85)

，是方程的两个根，则___________.

2020-07-19更新 | 825次组卷 | 3卷引用：2020届山西省运城市高中联合体高三模拟（四）数学（文）试题

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2020·湖南衡阳·三模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题

若函数的图象关于点成中心对称，则函数在上的最小值与最大值的和是__.

2020-09-08更新 | 691次组卷 | 4卷引用：湖南省衡阳市2020届高三高考数学（文科）（三模）联考试题

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19-20高三上·河北邯郸·期末

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P（x₁，y₁），将角α的终边顺时针旋转得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q（x₂，y₂），则x₂﹣x₁的取值范围为_____．

2020-05-30更新 | 1230次组卷 | 9卷引用：河北省邯郸市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文）试题

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四、解答题

2020·北京东城·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用三角恒等变换解决三角函数性质问题 劣构性试题

已知函数，且满足_______.
（Ⅰ）求函数的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.从①的最大值为，②的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，③的图象过点.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.

2020-06-03更新 | 1688次组卷 | 12卷引用：2020届北京市东城区高三一模考试数学试题

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