专题13 直线与圆

【要点提炼】

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂存在，则l₁∥l₂⇔k₁＝k₂，l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝

－1．若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．两个距离公式

（1）两平行直线l₁：Ax＋By＋C₁＝0与l₂：Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝．

（2）点(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

3．圆的方程

（1）圆的标准方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r．

（2）圆的一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F＞0)，圆心为，半径为r＝．

4．直线与圆的位置关系的判定

（1）几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

（2）代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．

【方法指导】

1、求解两直线平行的问题时，在利用$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．

2、求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．

3、直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；

4、待定系数法求圆的方程：（1）若已知条件与圆心$(a,b)$和半径$r$有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于$a,b,r$的方程组，从而求出$a,b,r$的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于$D,E,F$的方程组，进而求出$D,E,F$的值．

5、研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．

6、与弦长有关的问题常见几何法，即利用圆的半径$r$，圆心到直线的距离$d$，及$\frac{1}{2}$弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．

3、求圆的切线的方程的求法：

（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；

（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程．

命题点一会解决直线的方程的相关问题

【典例1】（1）（多选题）

多选题 | 较易(0.85)

解题方法

已知两直线位置关系求参数值或范围

已知直线，，则（       ）

A．恒过点	B．若，则
C．若，则	D．当时，不经过第三象限

2021-03-17更新 | 3233次组卷

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20-21高一上·河南·期末

单选题 | 较易(0.85)

过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-02-04更新 | 1009次组卷 | 4卷引用：河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题

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20-21高一上·江西上饶·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

直线相关的对称问题

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-28更新 | 1740次组卷 | 22卷引用：江西省上饶市万年县2020-2021学年度高一上学期期末教学质量测试数学试题

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【拓展练习】

（2020·全国高三专题练习）

2020·江西九江·三模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域

若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-06-08更新 | 2141次组卷 | 12卷引用：江西省九江市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题

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命题点二会求圆的方程

【典例2】（1）（2021·陕西咸阳市·高三一模（文））

2021·陕西咸阳·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何法求弦长

已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为，则的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-18更新 | 759次组卷 | 2卷引用：陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)文科数学试题

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（2）（2020·山东高三专题练习）

2020·山东威海·一模

单选题 | 适中(0.65)

以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-05-12更新 | 609次组卷 | 4卷引用：2020届山东省威海市高三一模数学试题

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【拓展练习】

（2020·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））

2020·四川绵阳·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知抛物线的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线相切，若圆P的面积为，则圆P的方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

2020-08-06更新 | 625次组卷 | 4卷引用：四川省绵阳市2020届高三年级高考适应性考试（四诊）理科数学试题

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（2020·吉林长春市·高三三模（理））

2020·吉林长春·三模

单选题 | 较易(0.85)

已知圆的圆心在轴上，且与圆的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-05-30更新 | 638次组卷 | 3卷引用：2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（理）试题

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命题点三会解决直线与圆的综合性问题

【典例3】（1）（2019·河北石家庄市·高考模拟（文））

2019·河北石家庄·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

过点作直线与圆交于，两点，若为，中点，则直线的方程为

A．	B．
C．	D．

2019-06-11更新 | 1408次组卷 | 5卷引用：【市级联考】河北省石家庄市2019届高三5月份适应性考试数学（文科）试题

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（2）（2021·全国高三零模）

2021·全国·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

直接法求直线方程

已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-01-23更新 | 6169次组卷 | 13卷引用：安徽省池州市第一中学2021届高三下学期高考适应性考试理科数学试题

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【拓展练习】

（2020·陕西汉中市·高三一模（文））

2020·陕西汉中·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何法求弦长

直线被圆所截得的弦长为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-17更新 | 805次组卷 | 9卷引用：陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟文科数学试题

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（2021·陕西宝鸡市·高三一模（文））

2021·陕西宝鸡·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

从直线：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形(为坐标原点)面积的最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．2

2021-01-19更新 | 1238次组卷 | 9卷引用：陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)文科数学试题

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【专题训练】

一、单选题

（2021·安徽高三一模（文））

2021·安徽·一模

单选题 | 较易(0.85)

若直线y=kx与曲线(x-)²+(|y|-1)²=1有交点，则k的取值范围是（       ）

A．[-，]

B．[-1，1]

C．[-，]

D．[-，]

2021-03-12更新 | 865次组卷 | 4卷引用：安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考文科数学试题

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（2021·江西上饶市·高三一模（理））

2021·江西上饶·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题

已知圆，直线，若直线上存在点，过点引圆的两条切线，使得，则实数的取值范围是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-03-04更新 | 1147次组卷 | 4卷引用：江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题

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（2021·福建漳州市·高三其他模拟）

2021·福建漳州·一模

单选题 | 较易(0.85)

已知，则直线：和直线：的位置关系为（       ）

A．垂直或平行	B．垂直或相交
C．平行或相交	D．垂直或重合

2021-03-03更新 | 1674次组卷 | 5卷引用：福建省漳州市2021届高三毕业班下学期第一次教学质量检测数学试题

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（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））

2021·陕西咸阳·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

几何法求圆的方程

已知经过坐标原点，半径，且与直线相切，则的方程为（       ）．

A．或

B．或

C．或

D．或

2021-02-05更新 | 871次组卷 | 4卷引用：陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)理科数学试题

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（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））

2021·宁夏吴忠·一模

单选题 | 较易(0.85)

已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-02-16更新 | 885次组卷 | 5卷引用：宁夏吴忠市2021届高三一轮联考数学（理）试题

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（2021·安徽六安市·高三一模（理））

2021·安徽六安·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用基本不等式求最值或值域

已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（       ）

A．

B．1

C．

D．2

2021-02-04更新 | 1132次组卷 | 9卷引用：安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测数学(理)试题

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（2020·全国高三专题练习（理））

16-17高三上·北京海淀·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

几何法求弦长

已知圆，直线，，若被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为（       ）

A．

B．

C．

D．1

2020-10-11更新 | 636次组卷 | 11卷引用：2016届北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷

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（2020·浙江高三其他模拟）

2020·浙江·模拟预测

单选题 | 适中(0.65)

已知直线l与单位圆O相交于，两点，且圆心O到l的距离为，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-10-12更新 | 781次组卷 | 3卷引用：浙江省长兴、余杭、缙云2020届高三下学期模拟数学试题

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二、多选题

（2021·广东韶关市·高三一模）

2021·广东韶关·一模

多选题 | 适中(0.65)

名校

设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-03-06更新 | 2173次组卷 | 7卷引用：广东省韶关市2021届高三一模数学试题

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（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）

19-20高一下·江苏苏州·期中

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何法求弦长

设圆的圆心为，直线过，且与圆交于、两点，且，则直线的方程是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-17更新 | 999次组卷 | 7卷引用：江苏省苏州市工业园区星海高中2019-2020学年高一下学期期中数学试题

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（2021·山东临沂市·高二期末）

多选题 | 适中(0.65)

解题方法

求解直线的定点 利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题

已知圆，直线，()．则下列四个命题正确的是（       ）

A．直线恒过定点

B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1

C．圆与曲线恰有三条公切线，则

D．当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点

2021-02-15更新 | 1981次组卷

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（2021·福建厦门市·高二期末）

多选题 | 适中(0.65)

已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（       ）

A．圆与圆有两条公切线

B．圆与圆关于直线对称

C．线段的长为

D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为

2021-01-26更新 | 1585次组卷

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三、填空题

（2021·广西崇左市·高三二模（理））

填空题 | 较易(0.85)

设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．

2021-03-15更新 | 696次组卷

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（2021·江苏高三一模）

2021·江苏·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为___________.

2021-02-24更新 | 1304次组卷 | 10卷引用：江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷

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（2021·全国高三专题练习）

2021·江西·模拟预测

填空题-单空题 | 较易(0.85)

名校

平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆C：的一条弦，且，M是AB的中点.当弦AB在圆C上运动时，直线l：上总存在P，Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_____.

2020-12-06更新 | 1288次组卷 | 6卷引用：江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题

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（2021·山东泰安市·高三期末）

2020·江苏·模拟预测

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

在平面直角坐标系中，已知，为圆：上两个动点，且.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为______.

2020-11-06更新 | 1083次组卷 | 10卷引用：2020年全国普通高等学校招生统一考试(江苏卷)模拟预测卷数学试题

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四、解答题

（2020·全国高三专题练习（理））

2019·江西吉安·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.
（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.

2019-04-08更新 | 1489次组卷 | 8卷引用：【校级联考】江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考数学（文）试题

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