专题16 函数的基本性质与基本初等函数

【要点提炼】

1.函数的图象

（1）对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

（2）在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.

（3）函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.

2.函数的性质

（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

（2）奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).

②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.

（3）周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.

②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.

③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.

④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.

易错提醒　错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.

3.指数式与对数式的七个运算公式

（1）a^m·aⁿ＝a^m＋n；

（2）(a^m)ⁿ＝a^mn；

（3）log_a(MN)＝log_aM＋log_aN；

（4）log_a＝log_aM－log_aN；

(5)log_aMⁿ＝nlog_aM；

(6)alog_aN＝N；

(7)log_aN＝ (注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).

4.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝a^x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log_ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.

5.函数的零点问题

（1）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.

（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.

6.应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒

【方法指导】

一、1.（1）求给出解析式的函数的定义域:由于定义域是使该解析式有意义的自变量的取值集合，故只需构建不等式(组)求解即可.

（2）求抽象函数的定义域:根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.

2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

二、利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解；函数单调性的应用:可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.

三、1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.

2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.

命题点一： 函数及其表示

【典例1】（2021·安徽六安市·高三一模（理））已知集合$A=\left\{\left.x\right|y=\ln \left(1-x\right)\right\}$，$B=\left\{\left.y\right|y=x^2\right\}$，则$A\cap B=$（ ）

A．$\left(0,1\right)$ B．$\left(0,1\right]$ C．$\left[0,1\right)$ D．$\left[0,1\right]$

【答案】C

【解析】

求出集合$A,B$后可得$A\cap B$

【详解】

因为$A=\left(-\infty ,1\right)$，$B=\left[0,+\infty \right)$，所以$A\cap B=\left[0,1\right)$．

【方法总结】

求给出解析式的函数的定义域:由于定义域是使该解析式有意义的自变量的取值集合，故只需构建不等式(组)求解即可.

【拓展练习】

（2021·江苏高三月考）

20-21高三下·全国·开学考试

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

具体函数定义域求法

已知集合，，则集合（       ）

A．	B．或
C．	D．

2021-03-22更新 | 1251次组卷 | 5卷引用：江苏省百师联盟2021届高三下学期3月摸底联考数学试题

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（2021·四川高三月考（文））

20-21高三下·四川·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

分段函数求函数值

已知函数，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-18更新 | 1232次组卷 | 5卷引用：四川省2021届高三下学期诊断性测试数学（文）试题

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命题点二： 函数的性质与应用

考向一 函数的奇偶性、周期性

【典例2】（2021·云南师大附中高三月考（理））已知$f\left(x\right)$、$g\left(x\right)$是定义在$R$上的偶函数和奇函数，若$f\left(x\right)-g\left(x\right)=2^{2-x}$，则$g\left(-1\right)=$（ ）

A．$5$ B．$-5$ C．$3$ D．$-3$

【答案】D

【解析】

根据题意可得出关于$f\left(-1\right)$、$g\left(-1\right)$的方程组，进而可解得$g\left(-1\right)$的值.

【详解】

$\because f\left(x\right)-g\left(x\right)=2^{2-x}$，所以，$f\left(-1\right)-g\left(-1\right)=2^3=8$，①，$f\left(1\right)-g\left(1\right)=2$，②，

因为$f\left(x\right)$、$g\left(x\right)$是定义在$R$上的偶函数和奇函数，由②可得$f\left(-1\right)+g\left(-1\right)=2$，

则有$\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)-g\left(-1\right)=8\hfill \\ f\left(-1\right)+g\left(-1\right)=2\hfill \end{array}\right.$，解得$g\left(-1\right)=-3$.

【方法总结】

利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

【拓展练习】

（2021·全国高三专题练习（文））

2019·北京房山·一模

单选题 | 适中(0.65)

关于函数，下列说法错误的是(　　)

A．是奇函数	B．在上单调递增
C．是的唯一零点	D．是周期函数

2019-04-28更新 | 1014次组卷 | 5卷引用：【区级联考】北京市房山区2019届高三第一次模拟测试数学（文科）试题

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（2020·云南省保山第九中学高三月考（文））

19-20高三·云南保山·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

奇偶性与周期性综合问题

已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-11-12更新 | 690次组卷 | 4卷引用：云南省保山市第九中学2021届高三第三次月考数学（理）试题

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考向二 函数的单调性与最值

【典例3】（2020·河南南阳市·南阳中学高三月考（理））已知函数$f\left(x\right)=\frac{\sin \pi x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2x+2\right)}$，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）

①函数$f\left(x\right)$是周期函数；

②函数$f\left(x\right)$既有最大值又有最小值；

③函数$f\left(x\right)$的定义域为$R$，且其图象有对称轴；

④对于任意的$x\in \left(-1,0\right)$，$f^{\prime }\left(x\right)<0$（$f^{\prime }\left(x\right)$是函数$f\left(x\right)$的导函数）

A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③

答案】A

【解析】

函数$f\left(x\right)$定义域为$R$，当$x\to +\infty$或$-\infty \leftarrow x$时，$f\left(x\right)\to 0$，又$x=0$，$x=\pm 1$，$x=\pm 2$，$x=\pm 3$，……时，$f\left(x\right)=0$，且均为变号零点.又因为函数满足$f\left(x\right)=\frac{\sin \pi x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2x+2\right)}=\frac{\sin \pi \left(1-x\right)}{\left[{\left(1-x\right)}^2+1\right]\left[{\left(1-x\right)}^2-2\left(1-x\right)+2\right]}=f\left(1-x\right)$，所以函数$f\left(x\right)$关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，函数图像如下图，

故②③正确.

【方法总结】

①函数$f\left(x\right)$对于定义域内任意实数$x$，存在非零常数$T$，满足$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$，则函数$f\left(x\right)$为周期函数；

②函数$f\left(x\right)$对于定义域内任意实数$x$满足$f\left(a+x\right)=f\left(b-x\right)$，则函数$f\left(x\right)$关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称，特别地当$f\left(x\right)=f\left(2a-x\right)$时，函数$f\left(x\right)$关于直线$x=a$对称；

③在函数$f\left(x\right)$定义域$\left(a,b\right)$内，存在常数$c$使得$f\left(c\right)=0$，则$x=c$叫做函数的零点.

【拓展练习】

（2021·河南高三月考（理））

20-21高三下·河南·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

单调性与奇偶性综合问题

设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-01更新 | 1066次组卷 | 4卷引用：河南省中原名校2020-2021学年高三下学期质量考评一数学（理）试题

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（2018·全国高三专题练习）

9-10高三·河南许昌·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

真题 名校

已知函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2019-11-30更新 | 2127次组卷 | 30卷引用：2011届河南省许昌市四校高三第一次联考数学卷

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命题点三： 基本初等函数

【典例4】（2021·河南高三月考（理））已知$a={\log }_2\pi$，$b=\ln \pi$，$c=3^{-0.9}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为（ ）

A．$a<b<c$ B．$b<a<c$ C．$c<b<a$ D．$c<a<b$

【答案】C

【解析】

先判断和特殊值（0，1）的关系，然后去比较$a$，$b$，因为$b=\frac{1}{{\log }_{\pi }e}$，$a=\frac{1}{{\log }_{\pi }2}$，可以得到$a>b$，即可得到答案.

【详解】

由题知，$c=3^{-0.9}<1$，$b=\ln \pi >1$，

因为$b=\frac{1}{{\log }_{\pi }e}$，$a=\frac{1}{{\log }_{\pi }2}$，而$0<{\log }_{\pi }2<{\log }_{\pi }e$，所以$a>b$，则$c<b<a$.

故选：C.

【方法总结】本题利用特殊值分析，难点在$a$，$b$的大小关系，将其化为$b=\frac{1}{{\log }_{\pi }e}$，$a=\frac{1}{{\log }_{\pi }2}$是解决问题的关键.

【拓展练习】

（2021·安徽安庆市·高三一模（理））

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

比较对数，指数，幂的大小问题

已知，则的大小关系（       ）

A．a>c>b	B．b>a>c
C．c>a>b	D．c>b>a

2021-04-10更新 | 1344次组卷

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（2021·河北张家口市·高三一模）

2021·河北张家口·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

单调性与奇偶性综合问题 利用函数单调性解不等式

设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-18更新 | 2476次组卷 | 7卷引用：河北省张家口市2021届高三一模数学试题

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【专题训练】

一、单选题

（2021·南京市中华中学高三期末）

20-21高三上·江苏南京·期末

单选题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

单调性与奇偶性综合问题 利用函数单调性解不等式

定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-06更新 | 3359次组卷 | 10卷引用：江苏省南京市中华中学2020-2021学年高三上学期1月学情暨期末数学试题

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（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））

20-21高三·云南昆明·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

分段函数求参数值或参数范围 利用周期性求函数值

在上函数满足，且，其中，若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-04更新 | 755次组卷 | 3卷引用：云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测数学（文）试题

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（2021·辽宁高三一模（理））

2021·辽宁·一模

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

定义法判断证明函数的奇偶性 利用导数证明或求解函数单调区间（不含参）

下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-03-11更新 | 1765次组卷 | 4卷引用：2021年东北三校（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验）高三第一次联合模拟考试理科数学试卷

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（2021·辽宁高三月考）

20-21高三下·辽宁·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

定义法判断证明函数的奇偶性 利用函数单调性解不等式

已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，，则关于的不等式的解集为（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-03-22更新 | 788次组卷 | 5卷引用：押第10题函数-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）

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（2021·全国高三专题练习（理））

20-21高三·云南昆明·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

已知函数单调区间求参数范围

若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-23更新 | 2881次组卷 | 13卷引用：云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测数学（文）试题

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（2020·静宁县第一中学高三月考（理））

16-17高三下·江西·阶段练习

单选题 | 适中(0.65)

名校

已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-03更新 | 1600次组卷 | 8卷引用：2017届江西省高三4月新课程教学质量监测数学（文）试卷

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（2021·广东韶关市·高三一模）

2021·广东韶关·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

比较对数，指数，幂的大小问题 利用导数证明或求解函数单调区间（不含参）

已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-03-08更新 | 3282次组卷 | 9卷引用：广东省韶关市2021届高三一模数学试题

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（2021·湖北高三月考）

20-21高三下·湖北·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

已知是上的偶函数，当时，，若实数，满足，则t的取值范围是（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-02-26更新 | 1146次组卷 | 7卷引用：九师联盟(湖北省)2021届高三下学期2月联考数学试题

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二、多选题

（2020·济南德润高级中学高三期中）

20-21高三上·山东济南·期中

多选题 | 适中(0.65)

已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列结论正确的是（       ）

A．；

B．若，则关于的方程在上所有根之和为4；

C．函数关于直线对称；

D．函数在上是减函数.

2021-01-02更新 | 1326次组卷 | 3卷引用：山东省济南市历下区德润高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

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（2020·福建省华安县第一中学高三期中）

20-21高三上·福建漳州·期中

多选题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

对称性，周期性与奇偶性综合问题

已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（       ）

A．是周期为2的函数	B．
C．的值域为	D．在上有4个零点

2020-12-12更新 | 2153次组卷 | 5卷引用：福建省华安县第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题

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（2020·辽宁高三期中）

20-21高三·辽宁·期中

多选题 | 容易(0.94)

解题方法

利用函数奇偶性求参数值 求解对数函数复合型函数的定义域

设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

2020-12-09更新 | 1707次组卷 | 5卷引用：辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题

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（2020·江苏南通市·高三期中）

20-21高三上·江苏南通·期中

多选题 | 较易(0.85)

下列四个命题中正确的是（       ）

A．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域相同

B．函数y＝与函数y＝3x的值域相同

C．函数y＝|x＋1|与函数y＝2x＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数

D．是奇函数

2020-12-18更新 | 760次组卷 | 3卷引用：江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身数学试题

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三、填空题

（2021·辽宁高三一模（文））

2021·辽宁·一模

填空题-单空题 | 较易(0.85)

已知函数，则不等式的解集为_______________________．

2021-03-06更新 | 931次组卷 | 4卷引用：甘肃省张掖市2021-2022学年高三第二次全市联考（3月）文科数学试题

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（2021·安徽淮南市·高三一模（理））

2021·安徽淮南·一模

填空题-单空题 | 较易(0.85)

意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列： 1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为__________．

2021-02-01更新 | 915次组卷 | 6卷引用：安徽省淮南市2020-2021学年高三一模数学(理)试题

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四、解答题

（2020·辽宁高三期中）

20-21高三·辽宁·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

定义法判断证明函数的单调性

已知函数（且）.
（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

2020-12-09更新 | 857次组卷 | 2卷引用：辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题

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（2020·河南高三其他模拟（理））

2021·河南·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

已知单调区间求参数范围问题 二次不等式恒成立问题

已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围

2021-02-04更新 | 1412次组卷 | 6卷引用：河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二数学（理）试题

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