专题14 圆锥曲线的方程与几何性质

【要点提炼】

1．圆锥曲线的定义

（1）椭圆：|MF₁|＋|MF₂|＝2a(2a＞|F₁F₂|)；

（2）双曲线：||MF₁|－|MF₂||＝2a(2a＜|F₁F₂|)；

（3）抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．

温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．

2．圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；

（2）双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；

（3）抛物线：y²＝2px，y²＝－2px，x²＝2py，x²＝－2py(p＞0)．

3．圆锥曲线的重要性质

（1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a²＝b²＋c²；离心率为e＝＝．

②在双曲线中：c²＝a²＋b²；离心率为e＝＝．

（2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F₁(－c，0)，F₂(c，0)．

②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F₁(0，－c)，F₂(0，c)．

（3）抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－．

②抛物线x²＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－．

4．弦长问题

（1）直线与圆锥曲线相交的弦

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)时，|AB|＝|x₁－x₂|＝＝．

（2）过抛物线焦点的弦

抛物线y²＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁x₂＝，y₁y₂＝－p²，弦长|AB|＝x₁＋x₂＋p．

【方法指导】

1．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指利用待定系数法求出方程中的$a^2,b^2,p$的值，最后代入写出的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程；

2．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义将其转化为到准线的距离处理．

3．求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法：

（1）求出$c,a$，代入$e=\frac{c}{a}$公式求解；

4．根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数$c,a,b$的方程或不等式，消去$b$后，转化为关于离心率$e$的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

求解圆锥曲线与圆、直线的综合问题的四个注意点：

（1）注意使用圆锥曲线的定义;

（2）引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；

（3）注意利用直线、园的几何性质；

（4）注意把握几何关系和代数关系之间的转化．

命题点一 会解决圆锥曲线的方程及定义问题

【典例1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知经过原点的直线与椭圆相交于，两点在第二象限），，分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线平分线段，且，则该椭圆的方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由已知可得，设线段的中点为，，则，利用中点坐标公式求得的坐标再由列式求得值，进一步得到，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求．

【详解】

由，得，设线段的中点为，，则，

又，，，，

点、、在同一直线上，

，即，

化简即可求得$a=6$，，则．

故椭圆方程为．

故选：C

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法、椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题．

（2）、（2019·河北衡水市·高考模拟（理））已知双曲线$C$的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为，若点在$C$上，且，到原点的距离为，则$C$的方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C．

【方法总结】

1．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指利用待定系数法求出方程中的$a^2,b^2,p$的值，最后代入写出的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程；

2．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义将其转化为到准线的距离处理．

【拓展练习】

1．（多选题）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（ ）

A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]

C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为

【答案】AD

【分析】

根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积．

【详解】

设椭圆的左焦点为，则

∴为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

∴的范围是，

∴的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，，

又∵，∴，

∴不是直角三角形，C不正确；

将与椭圆方程联立，解得，，

∴，D正确．

故选：AD

2．（2020·全国高三专题练习（理））在直角坐标平面内，点的坐标分别为，则满足为非零常数）的点的轨迹方程是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

设，由于直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，利用直线斜率公式可将转化为，化简整理即可

【详解】

由题，设，

因为，

因为直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，

所以，化简可得

故选：C

【点睛】

本题考查直接法求轨迹方程，考查斜率公式的应用

命题点二 会解决圆锥曲线的几何性质问题

【典例2】（1）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））已知椭圆与双曲线$C$：有相同的焦点，，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则可以取（ ）

A．4 B．5 C．7 D．8

【答案】D

【分析】

先求出椭圆的标准方程为再求出点的坐标即得解．

【详解】

由题得椭圆的焦点为不妨设在第一象限，

设椭圆方程为，

因为，

所以①

，②

又，③

解①②③得，所以椭圆的方程为

由题得直线方程为即：

联立直线和椭圆方程得或，

所以，或

当时，

所以，

所以

所以．

当时，．

所以可以取8．

故选：D

【点睛】

方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，看到焦半径，一般要马上联想到该圆锥曲线的定义，再利用该定义解题求解．

（2）（多选题）（2021·福建漳州市·高三其他模拟）已知双曲线：的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，若点，则下列说法中正确的有（ ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的实轴长为

C．点的横坐标的取值范围为 D．点的横坐标的取值范围为

【答案】AD

【分析】

通过计算求出双曲线的离心率和实轴长，即可判断选项A和B的正误；联立直线和椭圆的方程求出，即得点的横坐标的取值范围，即可判断选项C和D的正误．

【详解】

双曲线：的一条渐近线的方程为，则可设双曲线的方程为，∵过点，∴，解得$\lambda =\frac{1}{4}$，∴双曲线的方程为，即，可知双曲线的离心率，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；

由可知椭圆：的焦点，，不妨设，代入得，∴，直线的方程为，

联立，消去并整理得，根据韦达定理可得，可得．又，∴，，∴，故选项C错误，选项D正确．

故选：AD．

【点睛】

方法点睛：解析几何中的范围问题常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．

（3）（2021·新疆高三其他模拟（理））已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，，，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据，结合双曲线的定义，可求出，，利用勾股定理即可建立的关系得出离心率．

【详解】

如图，

设，

由，则，

由双曲线定义知，，

由知，

在中，，即，解得

则在中，

即，

∴，

∴

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，能否根据题意建立的关系是解决本题的关键，利用双曲线的定义及直角三角形求解，是难点，考查计算能力，考查数形结合思想，是难题．

【方法总结】

求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法：

（2）求出$c,a$，代入$e=\frac{c}{a}$公式求解；

（3）根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数$c,a,b$的方程或不等式，消去$b$后，转化为关于离心率$e$的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

【拓展练习】

3．（2021·江西高三其他模拟（文））已知､分别是双曲线的左､右焦点，双曲线$C$的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段上靠近的三等分点，则双曲线$C$的渐近线方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据推出，设，利用两个直角三角形求出，根据求出，则可得答案．

【详解】

依题意可得，所以，，

又因为，

所以，

所以，即，

所以，

设，则，，

由得，

由得，

在中，由得，

得，

在中，由得，

将代入得，即，

又，所以，即，所以，

所以双曲线$C$的渐近线方程为．

故选：B

【点睛】

关键点点睛：求双曲线渐近线方程的关键是得到的等量关系式，利用双曲线的定义和勾股定理可得的等量关系式．

4．（2020·全国高三专题练习）已知为坐标原点，，是抛物线$C$：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）

A．若，则点的横坐标为4

B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为

C．若外接圆与抛物线$C$的准线相切，则该圆面积为

D．周长的最小值为

【答案】ACD

【分析】

先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线$C$的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确．

【详解】

解：因为双曲线的方程为，所以，，则，

因为抛物线$C$的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，

选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；

选项B：因为抛物线$C$的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；

选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线$C$的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；

选项D：因为的周长为，所以选项D正确．

故选：ACD

命题点三 会解决圆锥曲线与圆、直线的综合问题

【典例3】（1）（2021·广东广州市·高三二模）已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案．

【详解】

根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，

，，

，

当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，

点的坐标为，代入，可得，即，即．

所以双曲线的渐近线方程为：．

故选：C

【点睛】

方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题

（2）（2020·辽宁高三三模（文））已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线$C$上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）

A．或 B．或 C．或 D．

【答案】A

【分析】

过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线$C$相切，再用判别式或导数计算即可．

【详解】

过作与准线垂直，垂足为，，

则当取得最大值时，最大，此时与抛物线$C$相切，

易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，

则．则，

则直线的方程为．

故选：A．

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题．

【方法总结】

求解圆锥曲线与圆、直线的综合问题的四个注意点：

（5）注意使用圆锥曲线的定义;

（6）引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；

（7）注意利用直线、园的几何性质；

（8）注意把握几何关系和代数关系之间的转化．

【拓展练习】

5．（2021·山东高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点．若为等边三角形，则的所有取值的积为（ ）

A． B． C． D．$2\sqrt{3}$

【答案】D

【分析】

当直线与双曲线$C$右支交于，两点时，根据双曲线定义及正三角形，可解得；当直线与双曲线$C$的两支分别相交于一点时，同理可得，，在$△A{F}_1{F}_2$中，根据余弦定理，可解得，即可得答案．

【详解】

由题知双曲线$C$的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线$C$的焦距为．

（1）如图①，当直线与双曲线$C$右支相交于，两点时，设，则，

由为等边三角形，得，可得，

又由双曲线的性质知，故，

所以，．

所以，所以，；

（2）如图②，当直线与双曲线$C$的两支分别相交于一点时，设，则，

由为等边三角形，得，则可得．

又由双曲线的性质知，解得，

所以，．

在$△A{F}_1{F}_2$中，由余弦定理可得，即，

所以．

由（1）（2）知的所有取值的积为．

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用、双曲线的几何性质，余弦定理等知识，易错点在于，需分析直线与双曲线的一支交于两点，还是与双曲线的两支分别交于一点，再进行求解，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题．

6．（2021·安徽蚌埠市·高三二模（文））已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于，$C$两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________．

【答案】

【分析】

首先根据为等腰直角三角形，转化求，再根据圆的半径，以及抛物线的定义，转化点到准线的距离，再表示的面积，求．

【详解】

由题意可知，且，得，

所以，根据抛物线的定义，可知点到准线的距离，

，，解得：，

所以抛物线方程

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用，表示，这样就可借助，转化为点到准线的距离，求的面积．

【专题训练】

一、单选题

2021·广西·二模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

定点问题

已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-14更新 | 1447次组卷 | 7卷引用：广西桂林、崇左市2021届高三二模数学（理）试题

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2021·陕西榆林·二模

单选题 | 容易(0.94)

名校

若抛物线上的点到焦点的距离为则（       ）

A．

B．2

C．6

D．

2021-03-11更新 | 1485次组卷 | 5卷引用：陕西省榆林市2021届高三下学期二模文科数学试题

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2021·山西晋中·二模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围

已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y轴于点N，交双曲线右支于点M，若，则双曲线C的离心率为（       ）

A．

B．

C．2

D．

2021-03-10更新 | 1016次组卷 | 7卷引用：山西省晋中市2021届高三下学期二模数学（文）试题

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2021·河南新乡·一模

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

定值问题

已知抛物线，过点的直线交于,两点，则直线，(为坐标原点)的斜率之积为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-18更新 | 1097次组卷 | 5卷引用：河南省新乡市2020-2021学年高三下学期2月一轮复习摸底考试数学（文）试题

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2021·云南·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

名校

设双曲线：的左､右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则（       ）

A．

B．

C．2

D．

2021-03-18更新 | 1433次组卷 | 6卷引用：云南西南名校2021届高三下学期联考数学（理）试题

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2021·河南·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

已知点为抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-16更新 | 1281次组卷 | 7卷引用：河南省2021届高三下学期高考适应性考试理数试题

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2021·安徽·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用椭圆定义解决焦点三角形周长或边长问题

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-11更新 | 3166次组卷 | 13卷引用：安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考文科数学试题

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2021·辽宁·一模

单选题 | 较难(0.4)

已知双曲线满足条件：（1）虚轴长为 ；（2）离心率为，求得双曲线方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线方程为 ，则下列四个条件中，符合添加的条件的个数为（ ）
①双曲线上任意的点到焦点，的距离都满足；
②双曲线的焦点为；
③双曲线的渐近线方程为；
④双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合.

A．

B．

C．

D．

2021-03-06更新 | 1138次组卷 | 6卷引用：3.2 双曲线（难点）（课堂培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）

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二、多选题

2021·山东潍坊·一模

多选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

待定系数法求双曲线方程

已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（       ）

A．的实轴长为	B．的离心率为
C．	D．的焦距为

2021-03-10更新 | 2531次组卷 | 13卷引用：山东省潍坊市2021届高三一模考试数学试题

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2021高三·全国·专题练习

多选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

相同渐近线双曲线方程的求法 直接法解决离心率问题

已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（       ）

A．的方程为	B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点	D．直线与有两个公共点

2021-04-01更新 | 1561次组卷 | 8卷引用：预测卷05-2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）

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2021·全国·模拟预测

多选题 | 较难(0.4)

解题方法

弦长问题 面积问题

已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（       ）

A．在点处的切线方程为

B．

C．过抛物线准线上的任意一点作的切线，则过两切点，的弦必过焦点

D．

2021-03-04更新 | 1043次组卷 | 6卷引用：2021新高考普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（一）

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2021·湖北·一模

多选题 | 适中(0.65)

已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（       ）

A．的最小值为	B．的最小值为
C．椭圆的离心率等于	D．椭圆的离心率等于

2021-02-07更新 | 2163次组卷 | 5卷引用：湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练数学试题

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三、填空题

2021·河南·模拟预测

填空题-单空题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

构造齐次方程法求离心率的值或范围 分类与整合思想

已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．

2021-03-14更新 | 2171次组卷 | 9卷引用：河南省2021届高三下学期高考适应性考试理数试题

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2021·黑龙江哈尔滨·一模

填空题-单空题 | 容易(0.94)

名校

人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.

2021-03-12更新 | 1089次组卷 | 4卷引用：黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟数学（理）试题

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2021·上海青浦·一模

填空题-单空题 | 较易(0.85)

名校

点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为___________.

2020-12-23更新 | 1844次组卷 | 12卷引用：上海市青浦区2021届高三上学期一模(期终学业质量调研)数学试题

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2021·安徽·一模

填空题-单空题 | 较易(0.85)

已知F₁､F₂为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F₂作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r₁与的内切圆半径r₂之比为___________.

2021-03-09更新 | 1007次组卷 | 2卷引用：安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考理科数学试题

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