专题12 概率与统计的综合应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

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高三 2021-04-25 1126次

专题12 概率与统计的综合应用

【要点提炼】

1．抽样方法

抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样，两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．

2．统计中的四个数据特征

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

（2）中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

（3）平均数：样本数据的算术平均数，即＝ (x₁＋x₂＋…＋x_n)．

（4）方差与标准差．

s²＝ [(x₁－)²＋(x₂－)²＋…＋(x_n－)²]，

3．直方图的两个结论

（1）小长方形的面积＝组距×＝频率．

（2）各小长方形的面积之和等于1．

4．回归分析与独立性检验

（1）回归直线＝x＋经过样本点的中心(，)，若x取某一个值代入回归直线方程＝x＋中，可求出y的估计值．

（2）独立性检验

对于取值分别是{x₁，x₂}和{y₁，y₂}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

	y₁	y₂	总计
x₁	a	b	a＋b
x₂	c	d	c＋d
总计	a＋c	b＋d	n

则K²＝ (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

5．概率模型公式及相关结论

（1）古典概型的概率公式．

P(A)＝＝．

（2）条件概率．

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝＝．

（3）相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．

（4）若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，

P()＝1－P(A)．

6、独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P_n(k)＝Cp^k(1－p)ⁿ^－^k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cp^k(1－p)ⁿ^－^k(k＝0，1，2，…，n)．

7、超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．

8、离散型随机变量的均值、方差

（1）离散型随机变量ξ的分布列为

ξ	x₁	x₂	x₃	…	x_i	…	x_n
P	p₁	p₂	p₃	…	p_i	…	p_n

离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①p_i≥0；

②p₁＋p₂＋…＋p_i＋…＋p_n＝1(i＝1，2，3，…，n)．

（2）E(ξ)＝x₁p₁＋x₂p₂＋…＋x_ip_i＋…＋x_np_n为随机变量ξ的数学期望或均值．

D(ξ)＝(x₁－E(ξ))²·p₁＋(x₂－E(ξ))²·p₂＋…＋(x_i－E(ξ))²·p_i＋…＋(x_n－E(ξ))²·p_n叫做随机变量ξ的方差．

（3）数学期望、方差的性质．

①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a²D(ξ)．

②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

【方法指导】

1、求解概率与分层抽样综合问题的步骤：

（1）利用分层抽样的抽样比，求出各层的样本数或各层抽取的样本数；

（2）计算样本空间所包含的基本事件个数与所求事件包含的基本事件的个数；

（3）利用古典概型的概率计算公式得出结果．

2、破解概率与统计图表综合问题的“三部曲”：

（1）第一步会赏图：能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取；

（2）第二步会转化：对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化；

（3）第三步会运算：对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．

3、概率与统计案例交汇的数学问题常见的主要有两类：一类是结合回归分析问题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，这里需要注意非线性回归的求解思路；另一类是概率与独立性检验交汇问题，这里需要注意的是进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．

4、概率统计与方程、函数的交汇的主要体现：

（1）在函数与方程的背景下考查概率统计知识；

（2）利用函数、方程的知识解决概率统计中存在的决策优化（最值）问题．

5、概率统计与数列、不等式的交汇主要体现在以实际生活中的概率统计知识、几何图像、棋类游戏等为背景考查数列的递推关系．一般是根据概率的有关知识探索数列的前几项，再研究递推关系，求得通项公式以及前n项和．

命题点一会解决概率与抽样方法的综合问题

【典例1】（2021·江西高三其他模拟（文））

2021·江西·模拟预测

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

计算卡方进行独立性检验列举法、列表法解决古典概型问题

某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查得到如下列表：(附

)

	高于	不高于	合计
患流感	20		25
不患流感		15
合计			50

（1）对上述

列联表进行填空，并判断是否有99%的把握认为患流感与温度有关，说明你的理由；
（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为108人，72人，36人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是中年人的概率.

	0.10	0.05	0.025	0.01
	2.701	3.841	5.024	6.635

2021-02-25更新 | 961次组卷 | 3卷引用：江西省上饶市2021届高三年级第一次联考数学（文）试题

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【拓展练习】

（2021·安徽蚌埠市·高三二模（文））

2021·安徽蚌埠·二模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

列举法、列表法解决古典概型问题

为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，

年

月

日（全民健身日）某社区开展了体育健身知识竞赛，满分

分．若该社区有

人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体育健身知识的了解情况，该社区以这

名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将成绩整理后分成五组，依次记

，

，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）请补全频率分布直方图并估计这

名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法从这

人的成绩中抽取容量为

的样本，再从该样本成绩不低于

分的参赛者中随机抽取

名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于

分的概率．

2021-02-03更新 | 1113次组卷 | 7卷引用：安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查文科数学试题

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命题点二会解决概率与统计图表的综合问题

【典例2】（2021·陕西榆林市·高三一模（文））

2020·陕西榆林·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

2021-01-21更新 | 1273次组卷 | 17卷引用：陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期一模理科数学试题

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【拓展练习】

（2021·江苏南通市·高三期末）

解答题 | 适中(0.65)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列利用正态分布三段区间的概率值估计人数

2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作

、9:40~10:00记作

，10:00~10:20记作

，10:20~10:40记作

，例如：10点04分，记作时刻64.

（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布

，其中

可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，

用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布

，则

，

2021-01-10更新 | 3738次组卷

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命题点三会解决概率与统计案例的综合问题

【典例3】（2021·江西高三其他模拟（文））

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

高三学生小明这段时间比较焦虑，下表记录了小明高三阶段前

次模拟考试的数学成绩：

第次考试
数学成绩

（1）由散点图可以推断小明的数学成绩

与第

次考试线性相关，请预测小明在第

次考试（高考）的数学成绩大约为多少分？
（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解；第一种方法需要

个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为

，第二种方法需要

个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为

，若以最终解题正确的概率高低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？
参考公式：回归直线方程

的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

，

2021-02-25更新 | 786次组卷

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【拓展练习】

（2020·全国高三其他模拟（理））

2020·全国·模拟预测

解答题-应用题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

计算卡方进行独立性检验利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

受疫情的影响，各实体商铺的销售额受到了不同程度的冲击，某小商品批发市场的管理部门提出了“线上线下两不误，打赢销售攻坚战”的口号，鼓励小商品批发市场内的所有商户开展线上销售活动.管理部门为了调查商户每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对小商品批发市场内的商户随机选取45家进行跟踪调查，其中每日线上销售时间不少于6小时的商户有19家，余下的商户中，每天的销售额不足3万元的占

，统计后得到如下

列联表：

	销售额不少于3万元	销售额不足3万元	合计
线上销售时间不少于6小时		4	19
线上销售时间不足6小时
合计			45

（1）请完成上面的

列联表，并判断是否所有99%的把握认为“小商品批发市场内的商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关.”
（2）（i）按分层抽样的方法，在上述样本中从销售额不少于3万元和销售额不足3万元的两组商户上抽取9家商户，设抽到销售额不足3万元且每天线上销售时间不足6小时的人数是

，求

的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii）若将频率视为概率，从小商品批发市场内所有商户中每天销售额不少于3万元的商户中随机抽取20家，求这些商户中每天线上销售时间不少于6小时的商户家数的数学期望和方差.
附：

（）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：

，其中

2020-12-21更新 | 2233次组卷 | 8卷引用：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题

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命题点四概率统计与方程、函数的综合问题

【典例4】（2021·江西新余一中高二其他模拟（理））

19-20高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

在一次抽样调查中测得

个样本点，得到下表及散点图．

（1）根据散点图判断

与

哪一个适宜作为

关于

的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果试建立

与

的回归方程；（计算结果保留整数）
（3）在（2）的条件下，设

且

，试求

的最小值．
参考公式：回归方程

中，

，

2020-12-03更新 | 1925次组卷 | 4卷引用：江西省新余市第一中学2020-2021学年高二年级第六次考试数学（理）试题

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【拓展练习】

（2021·安徽马鞍山市·高三一模（文））

20-21高三上·安徽滁州·期末

解答题-应用题 | 较易(0.85)

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其单价x(单位;元)与销量y(单位:副)的相关数据如下表：

单价x（元）	80	85	90	95	100
销量y（副）	140	130	110	90	80

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;
（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大?(结果保留到整数)
附:对于一组数据(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

参考数据:

2021-02-04更新 | 1299次组卷 | 7卷引用：安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题

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命题点五会解决概率统计与数列、不等式的综合问题

【典例5】（2021·福建漳州市·高三其他模拟）

2021·福建漳州·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为

，答错的概率为

.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为

，求

的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第

个等级的概率为

，证明：

为等比数列.

2021-03-02更新 | 2438次组卷 | 7卷引用：福建省漳州市2021届高三毕业班下学期第一次教学质量检测数学试题

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【拓展练习】

（2020·河南新乡市·高三一模（理））

2021·河南新乡·一模

解答题-应用题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用频率分布直方图求平均数、中位数和众数

甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．

已知甲测试成绩的中位数为75．
（1）求

，

的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．
（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是

，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第

道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为

，其中

①求

，

；
②求证

为等比数列，并求

的表达式．

2020-12-04更新 | 1536次组卷 | 9卷引用：河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）试题

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【专题训练】

（2020·陕西汉中市·高三一模（理））

2020·陕西汉中·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：

年龄
接受的人数

（1）由以上统计数据填

列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过

的前提下，认为以

岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

	岁以下	岁及岁以上	总计
接受
不接受
总计

（2）若以

岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取

人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这

人中随机抽取

人.记抽到

岁以下的人数为

，求随机变量

的分布列及数学期望.

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

附：

2020-12-16更新 | 1127次组卷 | 5卷引用：陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟理科数学试题

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（2021·广西高三其他模拟（文））

解答题 | 适中(0.65)

新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.

日期代码x	1	2	3	4	5	6	7	8
累计确诊人数y .	4	8	16	31	51	71	97	122

为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两个模型：①

，②

对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差

)：经过计算得

，

，其中

，

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数)；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

2020-11-22更新 | 1381次组卷

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（2020·江苏省天一中学高三其他模拟）

20-21高三上·江苏南京·期中

解答题-应用题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列利用正态分布对称性求概率或参数值

第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，

).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为

.
（i）求出f(p)的最大值点

;
（ii）若以

作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，

)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9544.

2020-11-21更新 | 5878次组卷 | 19卷引用：江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中数学试题

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（2020·北京高三其他模拟）

2020·北京·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

2020年是让人难忘的一年，为了战胜疫情，全国人民万众一心，同舟共济，众志成城.隔离期间，李校长倡导学生停课不停学，建议学生在家进行网课学习，为了解全校高中学生在家上网课的时长，李校长随机从高高二两个年级中各选择了10名同学，统计了学生在家一周上网课的时长，统计结果如下(单位：小时)：其中，高一年级中有一个数据模糊.

高一年级

高二年级

9 7

4 6

4 3 1