专题11 随机变量及其应用

【要点提炼】

1、独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P_n(k)＝Cp^k(1－p)^n－k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cp^k(1－p)^n－k(k＝0，1，2，…，n)．

2、超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．

3、离散型随机变量的均值、方差

（1）离散型随机变量ξ的分布列为

离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①p_i≥0；

②p₁＋p₂＋…＋p_i＋…＋p_n＝1(i＝1，2，3，…，n)．

（2）E(ξ)＝x₁p₁＋x₂p₂＋…＋x_ip_i＋…＋x_np_n为随机变量ξ的数学期望或均值．

D(ξ)＝(x₁－E(ξ))²·p₁＋(x₂－E(ξ))²·p₂＋…＋(x_i－E(ξ))²·p_i＋…＋(x_n－E(ξ))²·p_n叫做随机变量ξ的方差．

（3）数学期望、方差的性质．

①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a²D(ξ)．

②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

【方法指导】

1、求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．

2、若$\xi$～$B(n,p)$则用公式$E(\xi )=np,D(\xi )=np(1-p)$求解数学期望和方差，可大大减少计算量；

3、有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用$E(a\xi +b)=aE(\xi )+b$以及$E(\xi )=np$求出$E(a\xi +b)$，同样还可以求出$D(a\xi +b)$．

4、随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，他们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．

命题点一会用定义求离散型随机变量的分布列

【典例1】

2021·广东揭阳·一模

解答题-问答题 | 较难(0.4)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：

日照情况	日均气温不低于15℃	日均气温低于15℃
日照充足	耗电0千瓦时	耗电5千瓦时
日照不足	耗电5千瓦时	耗电10千瓦时
日照严重不足	耗电15千瓦时	耗电20千瓦时

根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.

（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）

2021-03-06更新 | 2039次组卷 | 4卷引用：广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试数学试题

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【拓展练习】

2021·江西吉安·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

互斥事件概率的求法 根据步骤列出离散型随机变量的分布列

面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算).甲､乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲､乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是，；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是，.
（1）求甲比乙所扣积分多的概率；
（2）设甲､乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望.

2021-02-07更新 | 984次组卷 | 4卷引用：江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）试题

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命题点二会用超几何分布求离散型随机变量的分布列

【典例2】

2021·辽宁·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列 利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.

2021-03-10更新 | 3708次组卷 | 10卷引用：2021年东北三校（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验）高三第一次联合模拟考试理科数学试卷

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【拓展练习】

2021·全国·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表.

成绩/分
频数	40	90	200	400	150	80	40

（1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.

2021-03-02更新 | 2399次组卷 | 8卷引用：专题7.5正态分布（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）

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命题点三会用二项分布求离散型随机变量的分布列

【典例3】

2021·湖南永州·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

利用频率分布直方图求平均数、中位数和众数 根据步骤列出离散型随机变量的分布列

为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于内的支数为，求的分布列和数学期望.

2021-03-06更新 | 2112次组卷 | 4卷引用：湖南省永州市2021届高三下学期二模数学试题

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【拓展练习】

2021·福建泉州·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

计算卡方进行独立性检验 利用二项分布概率公式求二项分布的分布列

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
附：，

	0.05	0.01
	3.841	6.635

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.

2021-02-27更新 | 1126次组卷 | 3卷引用：福建省泉州市永春二中、永春六中2021届高三第三次联考数学试题

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命题点四会用均值与方差解决一些实际生活中的决策问题

【典例4】

【拓展练习】

2014·北京昌平·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

2019-09-18更新 | 3610次组卷 | 27卷引用：2014届北京市昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷

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【专题训练】

一、单选题

（2021·广东广州市·高三二模）

2021·广东广州·二模

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用正态分布对称性求概率或参数值

在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（       ）

A．0.16

B．0.24

C．0.32

D．0.48

2021-03-07更新 | 2806次组卷 | 7卷引用：广东省广州市天河区2021届高考二模数学试题

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（2021·云南高三其他模拟（理））

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用均值和方差的性质求解新的均值和方差

已知随机变量，且则（       ）

A．

B．8

C．22

D．24

2021-03-05更新 | 1718次组卷

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（2021·广东韶关市·高三一模）

2021·广东韶关·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-03-06更新 | 3960次组卷 | 16卷引用：广东省韶关市2021届高三一模数学试题

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（2021·全国高三专题练习（理））

单选题 | 较易(0.85)

设，随机变量的分布

		0	1
P		a	b

则当a在内增大时，（       ）

A．增大，增大	B．增大，减小
C．减小，增大	D．减小，减小

2021-01-21更新 | 1013次组卷

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二、多选题

（2020·山东高三专题练习）

多选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用正态分布对称性求概率或参数值

已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（       ）．
附：随机变量服从正态分布，则，，

A．该市学生数学成绩的期望为100

B．该市学生数学成绩的标准差为100

C．该市学生数学成绩及格率超过0.8

D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

2020-05-27更新 | 1202次组卷

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（2021·河北张家口市·高三一模）

2021·河北张家口·一模

多选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用二项分布概率公式求二项分布的分布列 利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（       ）

A．

B．

C．X的期望

D．X的方差

2021-03-10更新 | 3562次组卷 | 14卷引用：河北省张家口市2021届高三一模数学试题

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（2020·福建高三其他模拟）

2021·福建·模拟预测

多选题 | 较易(0.85)

名校

一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（       ）

A．X的所有可能取值是3，4，5	B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为	D．X的数学期望是

2020-10-09更新 | 1833次组卷 | 16卷引用：福建省福州市2021届高三数学10月调研A卷试题

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三、填空题

（2020·山东淄博市·高三零模）

2021·山东淄博·模拟预测

填空题-单空题 | 较易(0.85)

解题方法

利用正态分布对称性求概率或参数值

已知随机变量，若，则______．

2020-12-20更新 | 1168次组卷 | 3卷引用：山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）数学试题

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（2021·全国高三零模）

2021·全国·模拟预测

填空题-单空题 | 较易(0.85)

名校

对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．

2021-01-23更新 | 8916次组卷 | 29卷引用：专题7.5正态分布（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）

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四、解答题

（2021·江苏盐城市·高三一模）

2021·江苏·一模

解答题-应用题 | 适中(0.65)

某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?
参考数据：若，则.

2021-03-01更新 | 2127次组卷 | 9卷引用：江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试数学试题

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（2021·江苏高三一模）

2021·江苏·一模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

性别 科目	男生	女生	合计
物理	300
历史		150
合计	400		800

（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

2021-02-24更新 | 3182次组卷 | 16卷引用：江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷

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（2021·全国高三其他模拟）

2021·全国·模拟预测

解答题-问答题 | 较难(0.4)

名校

解题方法

互斥事件概率的求法 根据步骤列出离散型随机变量的分布列

受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试､面试的概率分别为 ，；乙通过笔试､面试的概率分别为，；丙通过笔试､面试的概率与乙相同.
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：

参与环节	笔试	面试
补贴(元)	100	200

记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.

2021-03-03更新 | 4832次组卷 | 11卷引用：专题7.3离散型随机变量的数字特征（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）

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（2021·江西高三其他模拟（理））

2021·江西·模拟预测

解答题-应用题 | 较易(0.85)

某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温
天数	27	36	20	7

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求七月份这种饮品一天的需求量x(单位：瓶)的分布列；
（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n(单位：瓶)应满足什么条件?

2021-02-26更新 | 943次组卷 | 5卷引用：江西省重点中学协作体（鹰潭一中、上饶中学等）2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题

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（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））

2021·陕西咸阳·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

利用二项分布概率公式求二项分布的分布列 利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核、、三项技能，其中必须过关，、至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立．

考核技能
过关率

（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；
（Ⅱ）用表示三位应聘者中能进面试的人数，求的分布列及期望．

2021-02-05更新 | 1713次组卷 | 3卷引用：陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)理科数学试题

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