专题07 平行与垂直的证明-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

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高三 2021-04-25 1153次

专题07 平行与垂直的证明

【要点提炼】

1.直线、平面平行的判定及其性质

（1）线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

（2）线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

（3）面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

（4）面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

（1）线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

（2）线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

（3）面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

（4）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

【方法指导】

1、解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.

2、垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（1）证明线线平行常用方法：一是利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用三角形的中位线定理证明线线平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

（2）证明线线垂直常用方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是勾股定理；三是线面垂直、面面垂直的性质定理.

3、解决与折叠有关的问题的关键是搞清楚折叠前后的变换量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.一般的，翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一平面上的图形的性质会发生变化.

4、在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.

命题点一会判定空间中线、面的位置关系

【典例1】（1）（多选题）（2021·江苏高三一模）已知m，n是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则（）

A．若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ B．若 $m // α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

C．若 $α // β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m // n$ D．若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ， $n // β$ ，则 $m ⊥ n$

【答案】BC

【解析】

根据直线平面的位置关系判断各选项．

【详解】

$m // α$ ， $n // α$ 时， $m, n$ 可以相交、平行、或异面，A错；

$m // α$ 时， $α$ 内必 $b / / m$ ，而 $m ⊥ β$ ，则 $b ⊥ β$ ，从而 $α ⊥ β$ ，B正确；

$α // β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ ，又 $n ⊥ β$ ，∴ $m / / n$ ，C正确；

$α ⊥ β$ ， $m // α$ ， $n // β$ ， $m, n$ 可以相交、平行、或异面，D错．

故选：BC．

（2）（2020·江苏省南通中学高三一模）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（）

A．水的部分始终呈棱柱状；

B．水面四边形EFGH的面积不改变；

C．棱A₁D₁始终与水面EFGH平行；

D．当E∈AA₁时，AE＋BF是定值．

【答案】ACD

【解析】

从棱柱的特征平面可判断A；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B；

由 $B_{1} C_{1} //$ 平面 $E F G H$ ，棱 $B_{1} C_{1} // A_{1} D_{1}$ 可判断C；由体积是定值，高 $B C$ 为定值，则底面积 $E A B F$ 为定值，可判断D.

【详解】

由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有AD $//$ EH $//$ FG $//$ BC，

且平面AEFB $//$ 平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；

当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形 $E F G H$ 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；

BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同，但水的部分始终呈棱柱状，

且棱 $B_{1} C_{1} //$ 平面 $E F G H$ ，棱 $B_{1} C_{1} // A_{1} D_{1}$ ，∴ $A_{1} D_{1} //$ 平面 $E F G H$ ；

∵体积是定值，高 $B C$ 为定值，则底面积 $E A B F$ 为定值，

即 $E A + B F$ 为定值，

综上ACD正确．

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.

【方法总结】

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.

【拓展练习】

1、（多选题）（2020·福建莆田市·高三其他模拟）在空间中，已知a，b是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）

A．若 $a / / b$ ，且， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α / / β$

B．若 $α ⊥ β$ ，且 $a / / α$ ， $b / / β$ ，则 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$

C．若a与b相交，且 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α$ 与 $β$ 相交

D．若 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，且 $a / / α$ ， $b / / β$ ，则 $α ⊥ β$

【答案】AC

【解析】

利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可

【详解】

若 $a / / b$ ，且 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，即两平面的法向量平行，则 $α / / β$ 成立，故A正确；

若 $α ⊥ β$ ，且 $a / / α$ ， $b / / β$ ，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；

若a，b相交，且 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，即两平面的法向量相交，则 $α$ ， $β$ 相交成立，故C正确；

若 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，且 $a / / α$ ， $b / / β$ ，则 $α$ 与 $β$ 平行或相交，故D错误；

故选：AC.

【点睛】

此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题

2、（多选题）（2020·海南高三一模）如图所示，在三棱锥 $V - A B C$ 中， $A B = B C$ ，且 $∠ V A B = ∠ V A C = ∠ A B C = 90 °$ ， $P$ 为线段 $V C$ 的中点.则（）

A． $P B$ 与 $A C$ 垂直

B． $P B$ 与 $V A$ 平行

C．点 $P$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $V$ 的距离相等

D． $V B$ 与平面 $A B C$ ， $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角可能相等

【答案】AC

【解析】

由题设可证 $V A ⊥$ 底面 $A B C$ ，作 $A C$ 中点 $H$ ，由中位线定理可证 $P H // V A$ ，易证 $P B ⊥ A C$ ，再由 $H$ 为 $R t △ A B C$ 外心得 $P$ 到 $A, B, C$ 三点距离相等， $P$ 为 $R t △ V A C$ 外心，可证点 $P$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $V$ 的距离相等；结合正切定义可证 $V B$ 与平面 $A B C$ ， $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角不相等

【详解】

过点 $P$ 作 $P H ⊥ A C$ ，垂足为 $H$ ，连接 $B H$ ，可得 $H$ 为 $A C$ 的中点.

因为 $A B = B C$ ，所以 $B H ⊥ A C$ ，所以 $A C ⊥$ 平面 $P B H$ ，所以 $A C ⊥ P B$ ，从而A正确；

由条件可知 $P H // V A$ ，而 $P H$ 与 $P B$ 有交点，因而 $P B$ 与 $V A$ 不平行，B错误；

点 $P$ 是 $R t △ V A C$ 的外心，所以 $P$ 到 $V$ ， $A$ ， $C$ 的距离相等，

根据条件可知 $V A ⊥$ 平面 $A B C$ ，从而 $P H ⊥$ 平面 $A B C$ ，又因为 $H$ 是 $Rt △ A B C$ 的外心，所以 $P$ 点到 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离相等，所以点 $P$ 到 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $V$ 四点的距离都相等，C正确；

$V B$ 与平面 $A B C$ 所成的角即 $∠ V B A$ ， $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角即 $∠ P B H$ ， $\tan ∠ V B A = \frac{V A}{A B}$ ， $\tan ∠ P B H = \frac{P H}{B H} = \frac{\frac{V A}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} A B} = \frac{V A}{\sqrt{2} A B} < \tan ∠ V B A$ ，所以两个角不可能相等，D错误.

故选：AC

【点睛】

方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：

（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；

（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；

（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.

命题点二会证明空间中线、面的平行或垂直关系

【典例2】（2020·南京市秦淮中学高三其他模拟）如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥ B C$ ， $G$ 为 $P A$ 上一点．

（1）求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（2）若 $G$ 为 $P A$ 的中点，求证： $P C //$ 平面 $B D G$ ．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据底面 $A B C D$ 为矩形，得到 $A D ⊥ B C$ ，又 $P D ⊥ B C$ ，利用线面垂直的判定定理得到 $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ，再利用面面垂直的判定定理证明.

（2）连接AC与BD交于点O，连接OG，由中位线得到 $P C // O G$ ，再利用线面平行的判定定理证明.

【详解】

（1）因为底面 $A B C D$ 为矩形，

所以 $A D ⊥ B C$ ，又 $P D ⊥ B C$ ， $P D \cap A D = D$

所以 $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ，又 $B C \subset$ 平面 $A B C D$ ，

所以平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（2）如图所示：

连接AC与BD交于点O，连接OG，

因为 $G$ 为 $P A$ 的中点，

所以 $P C // O G$ ，又 $P C ⊄$ 平面 $B D G$ ， $O G \subset$ 平面 $B D G$ ，

所以 $P C //$ 平面 $B D G$ ．

【点睛】

本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.

【方法总结】

垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（2）证明线线垂直常用方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是勾股定理；三是线面垂直、面面垂直的性质定理.

【拓展练习】

3、（2020·全国高三二模（理））《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ ，四棱锥 $B - A_{1} C_{1} C A$ 为阳马，且 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

（1）求证： $E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ ；

（2）在线段 $A B$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $E F P$ ？若存在，求出 $\frac{A P}{A B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在； $\frac{A P}{A B} = \frac{1}{2}$ .

【解析】

在平面 $A_{1} C_{1} C A$ 内找到一条直线与 $E F$ 平行即可.

若 $B C_{1} ⊥$ 平面 $E F P$ ，又由已知条件 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ ，平面 $E F P$ 与平面 $A_{1} C_{1} C A$ 必然平行，因此容易想到 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，再证明即可.

【详解】

（1）取 $A_{1} C_{1}$ 中点 $G$ ，连接 $F G$ ， $G C$ ，

在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，因为 $F$ ， $G$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 中点，

所以 $F G ∥ B_{1} C_{1}$ ，且 $F G = \frac{1}{2} B_{1} C_{1}$ ，

在平行四边形 $B C C_{1} B$ 中，因为 $E$ 是 $B C$ 的中点，

所以 $E C ∥ B_{1} C_{1}$ ，且 $E C = \frac{1}{2} B_{1} C_{1}$ ，

所以 $E C ∥ F G$ ，且 $E C = F G$ ，

所以四边形 $F E C G$ 是平行四边形，

所以 $F E ∥ G C$ ，

又因为 $E F ⊄$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ ， $G C \subset$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ ，所以 $E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$ .

（2）在线段 $A B$ 上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $E F P$ ，

取 $A B$ 的中点 $P$ ，连 $P E$ ，连 $P F$ ，

因为 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $A C \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $C G \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，

所以 $B C_{1} ⊥ A C$ ， $B C_{1} ⊥ C G$ ，

在 $△ A B C$ 中，因为 $P$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 中点，所以 $P E ∥ A C$ ，

又由（1）知 $F E ∥ C G$ ，所以 $B C_{1} ⊥ P E$ ， $B C_{1} ⊥ E F$ ，

由 $P E \cap E F = E$ 得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $E F P$ ，

故当点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点时， $B C_{1} ⊥$ 平面 $E F P$ .此时， $\frac{A P}{A B} = \frac{1}{2}$ .

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判断，以及线面垂直的证明，属于中档题.

命题点三会解决空间图形的折叠问题

【典例3】（2021·全国高三专题练习（文））已知等腰梯形ADCE中， $A D // E C$ ， $E C = 2 A D = 2 A E = 4$ ， $∠ E = \frac{π}{3}$ ，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到 $A B E^{'}$ （ $E^{'} \notin$ 平面ABCD），如图2.

（1）点F为线段 $A E^{'}$ 的中点，判断直线DF与平面 $B C E^{'}$ 的位置关系，并说明理由；

（2）当 $△ B C E^{'}$ 的面积最大时，求 $D E^{'}$ 的长.

【答案】（1）相交，理由见解析；（2）2.

【解析】

（1）假设 $D F //$ 平面 $B C E^{'}$ ，则 $D F$ 平行平面 $B C E^{'}$ 内的一条直线 $C M$ ，又 $A D // B C$ 可证面面平行，即与 $E^{'}$ 是两个平面的一个公共点矛盾，故推翻假设，证得结果；

（2）取AB的中点O，结合已知条件证得 $A B ⊥$ 平面 $E^{'} O D$ ，即得 $E^{'} D ⊥ D C$ ，在 $△ B C E^{'}$ 中计算面积得 $\frac{1}{2} B E^{'} \cdot B C \cdot \sin ∠ E^{'} B C = 2 \sin ∠ E^{'} B C$ ，即知当 $∠ E^{'} B C = 90 °$ 时面积最大，勾股定理计算 $D E^{'}$ 即可.

【详解】

（1）解：直线DF与平面 $B C E^{'}$ 相交，理由如下：

因为 $E^{'} \notin$ 平面ABCD，所以 $D \notin$ 平面 $B C E^{'}$ ，

假设 $D F //$ 平面 $B C E^{'}$ ，设平面 $D C F \cap$ 平面 $B C E^{'} = C M$ ，如图所示，

则 $D F // C M$ ，显然CM与CB不重合，

又因为 $A D // B C$ ， $A D //$ 平面 $B C E^{'}$ ，且DF，AD相交，均在平面 $A D E^{'}$ 内，所以平面 $A D E^{'} //$ 平面 $B C E^{'}$ ，但 $E^{'}$ 显然是两个平面的公共点，故矛盾，假设不成立，

所以直线DF与平面 $B C E^{'}$ 相交；

（2）证明：取AB的中点O，连接 $E^{'} O$ ，BD，

由等腰梯形ADCE中， $A D // E C$ ， $E C = 2 A D = 2 A E = 4$ ， $∠ E = \frac{π}{3}$ ，知 $△ A B E$ 是等边三角形，四边形 $A D C B$ 是菱形，且 $∠ C = 60 °$ ，即 $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 都是等边三角形.

故 $E^{'} O ⊥ A B$ ， $D O ⊥ A B$ ， $E^{'} O$ 与 $D O$ 相交于平面 $E^{'} O D$ 内，所以 $A B ⊥$ 平面 $E^{'} O D$ ，所以 $E^{'} D ⊥ A B$ .又 $A B // D C$ ，所以 $E^{'} D ⊥ D C$ ，

因为 $△ B C E^{'}$ 的面积为 $\frac{1}{2} B E^{'} \cdot B C \cdot \sin ∠ E^{'} B C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sin ∠ E^{'} B C = 2 \sin ∠ E^{'} B C$ ，

所以当 $△ B C E^{'}$ 的面积最大时， $∠ E^{'} B C = 90 °$ ，

所以 $E^{'} C = \sqrt{E^{'} B^{2} + B C^{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，所以 $E^{'} D = \sqrt{E^{'} C^{2} - D C^{2}} = 2$ .

【点睛】

本题第一问解题关键在于利用反证法，先假设直线与平面平行，推出矛盾，即推翻假设，证得结论；第二问在于求得面积的关系式，探寻何时最大，确定关系再计算线段长度.

【方法总结】

1、解决与折叠有关的问题的关键是搞清楚折叠前后的变换量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.一般的，翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一平面上的图形的性质会发生变化.

2、在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.

【拓展练习】

4、（2019·湖南高三三模（文））一幅标准的三角板如图1中， $∠ A B C$ 为直角， $∠ A = 60 °$ ， $∠ D E F$ 为直角， $∠ D = 45 °$ ，且 $B C = D F$ ，把 $B C$ 与 $D F$ 拼齐使两块三角板不共面，连结 $A E$ 如图2.

（1）若 $M$ 是 $A C$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 的中点，求证： $B C ⊥$ 平面 $E N M$ ；

（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图2中 $A C = 4$ ，三棱锥 $E - A B C$ 的体积为2，则图2是否为鳖臑？说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）是鳖臑，详见解析.

【解析】

（1）设 $B C$ 中点为 $N$ ，连结 $M N$ ， $E N$ ，可证 $M N ⊥ B C$ 、 $E N ⊥ B C$ ，从而得到 $B C ⊥$ 平面 $E N M$ .

（2）先求出 $S_{△ B E C} = 3$ ，再根据体积可得 $A$ 到平面 $B E C$ 的距离为 $2$ ，结合 $A B = 2$ 可得 $A B ⊥$ 平面 $B E C$ ，从而可证四个面均为直角三角形.

【详解】

（1）证明：设 $B C$ 中点为 $N$ ，连结 $M N$ ， $E N$ .

∵ $M$ 是 $A C$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 的中点，∴ $M N / / A B$ ，

∵ $A B ⊥ B C$ ，∴ $M N ⊥ B C$ ，

∵ $B E ⊥ E C$ ， $B E = E C$ ， $B N = C N$ ，

∴ $E N ⊥ B C$ ，

∵ $M N \cap E N = N$ ，

∴ $B C ⊥$ 平面 $E M N$ .

（2）此时三棱锥 $E - A B C$ 是鳖臑，

∵ $A C = 4, ∴ B C = 2 \sqrt{3}$ ， $B E = C E = \sqrt{6}, S_{△ B E C} = 3$ ，

又三棱锥的体积 $V = \frac{1}{3} h \times S_{△ B E C} = 2$ ，故高 $h = 2$ .

又∵ $A B = 2$ ，所以 $A B ⊥$ 平面 $B E C$ ，因为 $B E \subset$ 平面 $B E C$ ，

所以 $B E ⊥ A B$ ，所以 $∠ A B E$ 是直角.

同理， $C E ⊥ A B$ .

∵ $C E ⊥ B E$ ， $C E ⊥ A B$ ， $A B \cap E B = B$ ，所以 $C E ⊥$ 平面 $A B E$ ，

因为 $A E \subset$ 平面 $A B E$ ，故 $C E ⊥ A E, ∴ ∠ A E C$ 也是直角.

又 $∠ A B C$ ， $∠ B E C$ 显然是直角，故图2是鳖臑.

【点睛】

线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线，也可通过点到平面的距离等于线段的长来考虑线面垂直，本题属于中档题.

【专题训练】

一、单选题

2020·江西·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

、

为不重合的平面，

、

为两条直线，下列命题正确的为（）

A．若，，，则	B．若，，则
C．若，，则	D．若，，，则

2021-02-24更新 | 1196次组卷 | 4卷引用：江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题

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单选题 | 较易(0.85)

如图，在正方体

中，

为棱

的中点，

为底面

内一点，则“

为棱

的中点”是“

平面

”的（）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

2021-03-18更新 | 1070次组卷

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2021·安徽六安·一模

单选题 | 适中(0.65)

在棱长为1的正方体

中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，

的截面与棱

交于F，若截面

在平面

和平面

上正投影的周长分别为

，

，则

（）

A．有最小值	B．有最大值
C．是定值	D．是定值

2021-02-04更新 | 1062次组卷 | 7卷引用：安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测数学(理)试题

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2021·上海虹口·一模

单选题 | 较易(0.85)

名校

在空间，已知直线

及不在

上两个不重合的点

､

，过直线

作平面

，使得点

､

到平面

的距离相等，则这样的平面

的个数不可能是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个

2020-12-23更新 | 1381次组卷 | 12卷引用：上海市虹口区2021届高三上学期一模数学试题

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2021·云南玉溪·模拟预测

单选题 | 较易(0.85)

已知正方体

的棱长为3，E，F，G分别为棱

，

上的点，其中

，

，平面

经过点E，F，G，则

截此正方体所得的截面为（）

A．三角形

B．四边形

C．五边形

D．六边形

2020-12-16更新 | 936次组卷 | 2卷引用：云南省玉溪市普通高中2021届高三第一次教学质量检测数学（理）试题

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2021·河南开封·一模

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

几何体的“内切”，“外接”球问题证明线线、线面平行的方法

如图，将正四棱锥

置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”

.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（）
①

平面

；
②

平面

；
③若

在同一球面上，则

也在该球面上；
④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则

A．①③

B．②④

C．①②③

D．①②④

2020-12-07更新 | 1707次组卷 | 9卷引用：河南省开封市2021届高三第一次模拟考试文科数学试题

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2021·四川泸州·一模

单选题 | 较易(0.85)

如图，在长方体

中，

，

分别为

，

的中点，

，

分别为

，

的中点，则下列说法错误的是（）

A．四点

，

在同一平面内

B．三条直线

，

有公共点

C．直线

与直线

不是异面直线

D．直线

上存在点

使

，

三点共线

2020-12-04更新 | 1928次组卷 | 8卷引用：四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试文科数学（一模）试题

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二、多选题

2021·福建莆田·模拟预测

多选题 | 适中(0.65)

已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）

A．若

，

，则

B．若

，

，则

C．若

，

，则

D．若

，

，则

2020-12-14更新 | 800次组卷 | 3卷引用：福建省莆田市2021届高三高中毕业班第一次教学质量检测数学试题

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2021·湖南株洲·一模

多选题 | 适中(0.65)

在正方体

中，点P在线段

上运动，则下列命题正确的是（）

A．异面直线

和

所成的角为定值

B．直线

和平面

相交

C．三棱锥

的体积为定值

D．直线

和直线

可能相交

2021-01-10更新 | 1791次组卷 | 5卷引用：湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测数学试题

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多选题 | 适中(0.65)

解题方法

求异面直线所成角证明线线、线面垂直的方法

如图所示，在长方体

，若

分别是

的中点，则下列结论中成立的是（）

A．EF与BB₁垂直	B．EF⊥平面BDD₁B₁
C．EF与C₁D所成的角为45°	D．EF∥平面A₁B₁C₁D₁

2020-11-05更新 | 1905次组卷

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三、填空题

2021·四川泸州·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

已知直四棱柱

，的所有棱长均为4，且

，点

是棱

的中点，则过点

且与

垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为______.

2020-12-04更新 | 1045次组卷 | 5卷引用：四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试文科数学（一模）试题

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2010·浙江嘉兴·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

证明线线、线面垂直的方法证明面面垂直的方法

如图所示，在正方体

中，

分别是棱

、

的中点，

的顶点P在棱

与棱

上运动，有以下四个命题：

（1）平面

；
（2）平面

⊥平面

；
（3）

在底面

上的射影图形的面积为定值；
（4）

在侧面

上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是______．

2020-11-12更新 | 1329次组卷 | 14卷引用：2010年高考嘉兴一中适应性考试数学试题（理科）

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四、解答题

2020·全国·二模

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

证明线线、线面平行的方法证明面面垂直的方法

如图，长方体

中，

是

的中点，

是

的中点.

（1）证明：平面

平面

；
（2）证明：

平面

2020-04-13更新 | 1076次组卷 | 5卷引用：湖南三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考文科数学试题

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2021·广西·模拟预测

解答题-证明题 | 适中(0.65)

解题方法

证明线线、线面平行的方法证明线线、线面垂直的方法

在平行六面体

中，已知O为平行四边形

的中心，E为

的中点．

（1）求证：

平面

；
（2）若平面

平面

．求证：

．

2020-12-13更新 | 630次组卷 | 2卷引用：广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（文）试题

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2014·江苏南京·三模

解答题-证明题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

证明面面垂直的方法

如图所示，在四棱锥

中，

为

与

的交点，

平面

，

是正三角形，

，

（1）若点

为棱

上一点，且

平面

，求

的值；
（2）求证：平面

平面

2020-11-26更新 | 1138次组卷 | 10卷引用：2014届江苏省南京市高三年级第三次模拟考试数学试卷

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2020·安徽·三模

解答题-证明题 | 适中(0.65)

解题方法

证明面面垂直的方法

在平行四边形

中，

，

，沿

将

折起到

，使得

．

（Ⅰ）求证：

平面

；
（Ⅱ）若点

是三角形

区域内一动点，求

的取值范围．

2020-08-16更新 | 569次组卷 | 2卷引用：安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考数学(文)试题

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