专题06 空间中的平行与垂直
【要点提炼】
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
考点
考向一 空间点、线、面位置关系
【典例1】 (1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是( )
A.m＝n B.m＝n＋2
C.m＜n D.m＋n＜8
(2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.
解析 (1)直线CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，
易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，
则m＝4.
取CD的中点G，连接FG，EG.
易证CD⊥平面EGF，
又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD，
从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1，
∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，
则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4，
故m＝n＝4.
(2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直；
由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；
由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.
故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.
答案 (1)A (2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)
探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
(2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.
2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
【拓展练习1】 (1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是( )
A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交
B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直
C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交
D.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行
(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )
A.BP⊥AC B.PD⊥平面ABCD
C.AC⊥PD D.平面BDP⊥平面ABCD
解析 (1)在AB上取一点P，则平面PMC1与AB，B1C1都相交，这样的平面有无数个，因此C是假命题.
(2)取BP的中点O，连接OA，OC，如图所示.则BP⊥OA，BP⊥OC，因为OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A一定成立.由AC⊥BP，AC⊥BD，BP∩BD＝B，∴AC⊥平面BDP，又PD⊂平面BDP，AC⊂平面ABCD.所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故C，D一定正确.从条件不一定推出PD⊥平面ABCD，选B.
答案 (1)C (2)B
考向二 空间平行、垂直关系的证明
【典例2】 (2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.理由如下：
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝
AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
探究提高 1.利用综合法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，如果所给的图形中不存在这样的线与面，要充分利用几何性质和条件连接或添加相关的线与面.
2.垂直、平行关系的证明，主要是运用转化与化归思想，完成线与线、线与面、面与面垂直与平行的转化.在论证过程中，不要忽视定理成立的条件，推理要严谨.
【拓展练习2】 (2020·石家庄调研)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.
(1)求证：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.
证明 (1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，
∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，
∵CD＝3PE，
∴FG＝2PE，FG∥CD，
∵CD∥AB，AB＝2PE，
∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.
(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，
∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
∴ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.
∴FM∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，
∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，
∴BD⊥平面AOF.
考向三 平面图形中的折叠问题
【典例3】 图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图②中的四边形ACGD的面积.
(1)证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解 如图，取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，又CG、EM⊂平面BCGE，故DE⊥CG，DE⊥EM.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，
又DE∩EM＝E，DE，EM⊂平面DEM，故CG⊥平面DEM.
又DM⊂平面DEM，因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝
，
故DM＝2.又CG＝BF＝2，
所以四边形ACGD的面积为S＝2×2＝4.
探究提高 1.解决与折叠有关问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.
2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
【拓展练习3】 如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝
，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36
，求a的值.
(1)证明 在图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)解 由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
又由(1)知，OA1⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高，
由图1可知，A1O＝
AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1－BCDE的体积为
V＝
×S×A1O＝×a2×a＝
a3，
由a3＝36，得a＝6.
考向四 空间线面关系的开放性问题
【典例4】 (2020·九师联盟检测)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝
，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E在线段BC上，且EC＝
BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由.
(1)证明 ∵△PAD是等边三角形，F是AD的中点，∴PF⊥AD.
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝，∴BF⊥AD.
又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP.
由于PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.
(2)解 能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，
∴BF⊥平面PAD.
又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，PF⊂平面PAD，∴PF⊥平面ABCD.
连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，
∴GH⊥平面ABCD.
又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.
∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，
∴
＝
＝，∴
＝＝，
∴GH＝PF＝
，
∴VD－CEG＝VG－CDE＝S△CDE·GH
＝×DC·CE·sin·GH＝
.
探究提高 1.求解探究性问题常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立.
2.解决空间线面关系的探究性问题，应从平面图形中的平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果.
【拓展练习4】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC.
(1)在棱PB上是否存在点E，使得AE∥平面PDC？若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理由；
(2)若△PBC的面积为
，求四棱锥P－ABCD的体积.
解 (1)存在.当点E为棱PB的中点，使得AE∥平面PDC.理由如下：
如图所示，取PB的中点E，连接AE，取PC的中点F，连接EF，DF，取BC的中点G，连接DG.
因为△BCD是等边三角形，
所以∠DGB＝90°.
因为∠ABC＝∠BAD＝90°，所以四边形ABGD为矩形，
所以AD＝BG＝BC，AD∥BC.
因为EF为△BCP的中位线，
所以EF＝BC，且EF∥BC，故AD＝EF，且AD∥EF，
所以四边形ADFE是平行四边形，从而AE∥DF，
又AE⊄平面PDC，DF⊂平面PDC，
所以AE∥平面PDC.
(2)取CD的中点M，连接PM，过点P作PN⊥BC交BC于点N，连接MN，如图所示.
因为△PDC为等边三角形，所以PM⊥DC.
因为PM⊥DC，平面PDC⊥平面BDC，平面PDC∩平面BDC＝DC，PM⊂平面PDC，
所以PM⊥平面BCD，则PM为四棱锥P－ABCD的高.
又BC⊂平面BCD，所以PM⊥BC.
因为PN⊥BC，PN∩PM＝P，PN⊂平面PMN，PM⊂平面PMN，
所以BC⊥平面PMN.
因为MN⊂平面PMN，所以MN⊥BC.
由M为DC的中点，易知NC＝BC.
设BC＝x，则△PBC的面积为
·
＝，解得x＝2，即BC＝2，
所以AD＝1，AB＝DG＝PM＝.
故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S梯形ABCD×PM＝×
×＝
.
【专题拓展练习】
一、单选题
中，二面角
的大小为
，且
，
，
，则四面体体积的最大值是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 锥体体积的有关计算 由二面角大小求线段长度或距离
中，点
，
分别在棱
，
，
，则（
平面
平面
，且
，则“
”是“
”的（ ）| A．充分必要条件 | B．充分而不必要条件 |
| C．必要而不充分条件 | D．既不充分也不必要条件 |
【知识点】 判断命题的必要不充分条件解读 线面垂直证明线线垂直 线面平行的性质
中，
，
，
，则三棱锥
中，
，
分别为棱
的中点，记直线
与平面
所成角为
，则
的底面是边长为6的菱形，
，
，
相交于点
，
平面，
，
是
的中点，动点
在该棱锥表面上运动，并且总保持
，则动点的轨迹的长为（ ）
| A．3 | B．7 | C．13 | D．8 |
，
是两个不同的平面，“
”的一个充分条件是| A．内有无数直线平行于 |
B．存在平面 ， ， |
C．存在平面， ， 且 |
D．存在直线 ， ， |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
中，
分别为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求异面直线所成的角
和直线，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 | B．若 ，则 |
C．若 ，则 | D．若 ，则 |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
、
为两条直线，
，则
，则
，| A．三点确定一个平面 |
| B．垂直于同一直线的两条直线平行 |
| C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 |
D．若 是三条直线， 且与 都相交，则直线共面. |
【知识点】 平面的基本性质及辨析
中，
平面，四边形是正方形，
，
，
分别为
，
的中点，则
与
所成角的余弦值是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求异面直线所成的角
与
，
，二面角
的平面角为
，则
，
上的动点（包括端点），记
与
所成角的最小值为
中，
与平面
所成角的正弦值为
，则该长方体的外接球的表面积为（ ）
A．  | B．  | C．  | D．  |
【知识点】 球的表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 求线面角
二、解答题
的中点，如下图.
的体积；
平面
.
为矩形，且
，
，
平面，
，为的中点.
（1）求证：
；（2）若
为的中点，求三棱锥
的体积.
【知识点】 锥体体积的有关计算 线面垂直证明线线垂直
的棱长均为2，M是侧棱
的中点．
（1）在图中作出平面
与平面
的交线l（简要说明），并证明
平面
；（2）求点C到平面
的距离．
【知识点】 平面的基本性质及辨析 证明线面垂直 求点面距离
