专题06空间中的平行与垂直
【要点提炼】
1.直线､平面平行的判定及其性质
（1）线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，ab⇒aα.
（2）线面平行的性质定理：aα，a⊂β，α∩β=b⇒ab.
（3）面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，aα，bα⇒αβ.
（4）面面平行的性质定理：αβ，α∩γ=a，β∩γ=b⇒ab.
2.直线､平面垂直的判定及其性质
（1）线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
（2）线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒ab.
（3）面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
（4）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
考点
考向一空间点､线､面位置关系
【典例1】（1）(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且ABCD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是（ ）
A.m=nB.m=n+2
C.m<nD.m+n<8
（2）(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②mα；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.
解析（1）直线CE⊂平面ABPQ，从而CE平面A1B1P1Q1，
易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，
则m=4.
取CD的中点G，连接FG，EG.
易证CD⊥平面EGF，
又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且ABCD，
从而平面EGF平面BPP1B1平面AQQ1A1，
∴EF平面BPP1B1，EF平面AQQ1A1，
则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n=4，
故m=n=4.
（2）已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②mα，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直；
由①l⊥m与③l⊥α能推出②mα；
由②mα与③l⊥α可以推出①l⊥m.
故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.
答案（1）A（2）若mα，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则mα，答案不唯一)
探究提高1.判断空间位置关系命题的真假
（1）借助空间线面平行､面面平行､线面垂直､面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
（2）借助空间几何模型，如从长方体､四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.
2.两点注意：（1）平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；（2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
【拓展练习1】
(2020·衡水中学调研)
| A．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交 |
| B．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直 |
| C．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交 |
| D．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行 |
【知识点】 平面的基本性质及辨析
中，
与
是正三角形，平面
平面
，
，则下列结论不一定成立的是
A． | B． 平面 |
C． | D．平面 平面 |
【知识点】 证明异面直线垂直 线面关系有关命题的判断 证明面面垂直
考向二空间平行､垂直关系的证明
【典例2】(2019·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（3）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.
（1）证明因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC.
（2）证明因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.又因为ABCD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA=A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
（3）解棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.理由如下：
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FGAB，且FG=
AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CEAB，且CE=AB.
所以FGCE，且FG=CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.
因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF平面PAE.
探究提高1.利用综合法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，如果所给的图形中不存在这样的线与面，要充分利用几何性质和条件连接或添加相关的线与面.
2.垂直､平行关系的证明，主要是运用转化与化归思想，完成线与线､线与面､面与面垂直与平行的转化.在论证过程中，不要忽视定理成立的条件，推理要严谨.
【拓展练习2】
(2020·石家庄调研)
（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.
考向三平面图形中的折叠问题
【典例3】图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.
（1）证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图②中的四边形ACGD的面积.
（1）证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC=B，BE，BC⊂平面BCGE，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
（2）解如图，取CG的中点M，连接EM，DM.
因为ABDE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，又CG､EM⊂平面BCGE，故DE⊥CG，DE⊥EM.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°，得EM⊥CG，
又DE∩EM=E，DE，EM⊂平面DEM，故CG⊥平面DEM.
又DM⊂平面DEM，因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE=1，EM=
，
故DM=2.又CG=BF=2，
所以四边形ACGD的面积为S=2×2=4.
探究提高1.解决与折叠有关问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.
2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
【拓展练习3】
中，
，
是
的中点，
是
与
的交点，将
沿折起到图2中
的位置，得到四棱锥
.
平面
；（Ⅱ）当平面
平面
时，四棱锥的体积为
，求
的值.
【知识点】 根据体积计算几何体的量 证明线面垂直 面面垂直证线面垂直
考向四空间线面关系的开放性问题
【典例4】(2020·九师联盟检测)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=
，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若E在线段BC上，且EC=
BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D-CEG的体积；若不存在，请说明理由.
（1）证明∵△PAD是等边三角形，F是AD的中点，∴PF⊥AD.
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=
，∴BF⊥AD.
又PF∩BF=F，∴AD⊥平面BFP.
由于PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.
（2）解能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.
由（1）知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD=D，
∴BF⊥平面PAD.
又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，且PF⊥AD，PF⊂平面PAD，∴PF⊥平面ABCD.
连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，
∴GH⊥平面ABCD.
又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.
∵ADBC，∴△DFH∽△ECH，
∴
=
=，∴
==，
∴GH=
PF=
，
∴VD-CEG=VG-CDE=S△CDE·GH
=×DC·CE·sin·GH=
.
探究提高1.求解探究性问题常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立.
2.解决空间线面关系的探究性问题，应从平面图形中的平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果.
【拓展练习4】
（1）在棱PB上是否存在点E，使得AE
平面PDC？若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理由；（2）若△PBC的面积为
，求四棱锥P-ABCD的体积.
【专题拓展练习】
一､单选题
中，二面角
的大小为
，且
，
，
，则四面体体积的最大值是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 锥体体积的有关计算 由二面角大小求线段长度或距离
中，点
，
，
分别在棱
，
，
，则（
平面
平面
中，
，
分别为棱
的中点，记直线
与平面
所成角为
，则
，
是两个不同的平面，“
”的一个充分条件是| A．内有无数直线平行于 |
B．存在平面 ， ， |
C．存在平面， ， 且 |
D．存在直线 ， ， |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
中，
分别为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求异面直线所成的角
和直线，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 | B．若 ，则 |
C．若 ，则 | D．若 ，则 |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
，则
，则
，| A．三点确定一个平面 |
| B．垂直于同一直线的两条直线平行 |
| C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 |
D．若 是三条直线， 且与 都相交，则直线共面. |
【知识点】 平面的基本性质及辨析
中，平面，四边形是正方形，
，
，
分别为
，
的中点，则
与
所成角的余弦值是（ ）A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求异面直线所成的角
上的动点（包括端点），记
与
所成角的最小值为
的中点为M，
的中点为N，下列结论正确的是（ ）
A． 平面 | B．平面 |
C．平面 | D．平面 |
【知识点】 判断线面平行
中，
，其中
，点
是
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为（ ）
A． | B． | C． | D． |
【知识点】 求异面直线所成的角
是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中A．若 ， ， ，则 |
B．若 ， ， ，则 |
C．若， ，则 |
D．若，， ，则 |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
、
、
与平面、，给出下列四个命题：①若
，
，则；②若
，
，则；③若
，
，则；④若
，，则；其中假命题是
| A．① | B．② | C．③ | D．③④ |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
，，直线l，m，且有，
，给出下列命题：①若，则
；②若
，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
【知识点】 线面关系有关命题的判断 面面关系有关命题的判断
二､解答题
的中点，如下图.
的体积；
平面
.
为矩形，且
，
，
平面，
，为的中点.
（1）求证：
；（2）若
为的中点，求三棱锥
的体积.
【知识点】 锥体体积的有关计算 线面垂直证明线线垂直
的棱长均为2，M是侧棱
的中点．
（1）在图中作出平面
与平面
的交线l（简要说明），并证明
平面
；（2）求点C到平面
的距离．
【知识点】 平面的基本性质及辨析 证明线面垂直 求点面距离
