专题03 等差数列与等比数列

【要点提炼】

1.等差数列

(1)通项公式：a_n＝a₁＋(n－1)d；

(2)求和公式：S_n＝$\frac{na1an}{2}$＝na₁＋$\frac{nn1}{2}$d；

(3)常用性质：

①若m，n，p，q∈N^*，且m＋n＝p＋q，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q；

②a_n＝a_m＋(n－m)d；

③S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m，…成等差数列.

2.等比数列

(1)通项公式：a_n＝a₁q^n－1(q≠0)；

(2)求和公式：q＝1，S_n＝na₁；q≠1，S_n＝$\frac{a11qn}{1q}$＝$\frac{a1anq}{1q}$；

(3)常用性质：

①若m，n，p，q∈N^*，且m＋n＝p＋q，则a_m·a_n＝a_p·a_q；

②a_n＝a_m·q^n－m；

③S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m，…(S_m≠0)成等比数列.

温馨提醒　应用公式a_n＝S_n－S_n－1时一定注意条件n≥2，n∈N^*.

考点一 等差、等比数列

考向一　等差、等比数列的基本运算

【典例1】 (1)(2020·全国Ⅱ卷)数列{a_n}中，a₁＝2，a_m＋n＝a_ma_n.若a_k＋1＋a_k＋2＋…＋a_k＋10＝2¹⁵－2⁵，则k＝(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

解析　∵a₁＝2，a_m＋n＝a_ma_n，

令m＝1，则a_n＋1＝a₁a_n＝2a_n，

∴{a_n}是以a₁＝2为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n＝2×2^n－1＝2ⁿ.

又∵a_k＋1＋a_k＋2＋…＋a_k＋10＝2¹⁵－2⁵，

∴$\frac{2k11210}{12}$＝2¹⁵－2⁵，即2^k＋1(2¹⁰－1)＝2⁵(2¹⁰－1)，

∴2^k＋1＝2⁵，∴k＋1＝5，∴k＝4.

答案　C

(2)(2019·北京卷)设{a_n}是等差数列，a₁＝－10，且a₂＋10，a₃＋8，a₄＋6成等比数列.

①求{a_n}的通项公式；

②记{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值.

解　①设{a_n}的公差为d.

因为a₁＝－10，

所以a₂＝－10＋d，a₃＝－10＋2d，a₄＝－10＋3d.

因为a₂＋10，a₃＋8，a₄＋6成等比数列，

所以(a₃＋8)²＝(a₂＋10)(a₄＋6).

所以(－2＋2d)²＝d(－4＋3d).

解得d＝2.

所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n－12.

②法一　由①知，a_n＝2n－12.

则当n≥7时，a_n>0；当n＝6时，a_n＝0；当n<6时，a_n<0；

所以S_n的最小值为S₅＝S₆＝－30.

法二　由①知，S_n＝$\frac{n}{2}$(a₁＋a_n)＝n(n－11)＝$\left(\begin{array}{l}n\frac{11}{2}\hfill \end{array}\right)$${}^2$－$\frac{121}{4}$，又n∈N^*，

∴当n＝5或n＝6时，S_n的最小值S₅＝S₆＝－30.

探究提高　1.等差(比)数列基本运算的解题途径：

(1)设基本量a₁和公差d(公比q).

(2)列、解方程组：把条件转化为关于a₁和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.

2.第(2)题求出基本量a₁与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.

【拓展练习1】 (1)(2020·河北省一联)若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂a₅＝3a₃，且a₄与9a₇的等差中项为2，则S₅＝(　　)

A.$\frac{112}{3}$ B.112 C.$\frac{121}{27}$ D.121

(2)(2020·西安模拟)已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₄＝26，且a₁，a₂，a₇成等比数列.

①求数列{a_n}的通项公式；

②设b_n＝(－1)^n＋1a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₅₁₁.

(1)解析　设等比数列{a_n}的公比为q，由已知得a₂a₅＝a₃a₄＝3a₃，因为a₃≠0，所以a₄＝3，即a₁q³＝3　①.

因为a₄与9a₇的等差中项为2，所以a₄＋9a₇＝a₄(1＋9q³)＝4　②，

联立①②解得q＝$\frac{1}{3}$，a₁＝81.

所以S₅＝$\frac{81\times \left[\begin{array}{l}1{\left(\begin{array}{l}\frac{1}{3}\hfill \end{array}\right)}^5\hfill \end{array}\right]}{1\frac{1}{3}}$＝121.

答案　D

(2)解　①设数列{a_n}的公差为d，d≠0.

∵a₁，a₂，a₇成等比数列，

∴a$22$＝a₁a₇，即(a₁＋d)²＝a₁(a₁＋6d)，则d²＝4a₁d.

又d≠0，∴d＝4a₁，①

由于a₄＝a₁＋3d＝26，②

联立①②，得$\left\{\begin{array}{l}d4a1\hfill \\ a13d26\hfill \end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a12\hfill \\ d8\hfill \end{array}\right.$

∴a_n＝2＋8(n－1)＝8n－6.

②∵b_n＝(－1)^n＋1a_n＝(－1)^n＋1(8n－6).

∴T₅₁₁＝b₁＋b₂＋…＋b₅₁₁

＝2－10＋18－26＋…＋4 066－4 074＋4 082

＝(2－10)＋(18－26)＋…＋(4 066－4 074)＋4 082

＝－8×255＋4 082＝2 042.

考向二　等差(比)数列的性质

【典例2】 (1)在数列{a_n}中，2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2，且a_n≠0.若a_n－1－a$2n$＋a_n＋1＝0(n≥2)，且S_2n－1＝38，则n＝(　　)

A.38 B.20 C.10 D.9

(2)(2020·长沙检测)已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₈－2S₄＝5，则a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂的最小值为(　　)

A.25 B.20 C.15 D.10

解析　(1)在数列{a_n}中，因为2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2，所以a_n＋2－a_n＋1＝a_n＋1－a_n，

所以数列{a_n}为等差数列.

由a_n－1－a$2n$＋a_n＋1＝0(n≥2)，得2a_n－a$2n$＝0，

又a_n≠0，解得a_n＝2.

又S_2n－1＝38，即$\frac{2n1a1a2n1}{2}$＝(2n－1)a_n＝38，

即(2n－1)×2＝38，解得n＝10.

(2)在正项等比数列{a_n}中，S_n＞0.

因为S₈－2S₄＝5，则S₈－S₄＝5＋S₄，

易知S₄，S₈－S₄，S₁₂－S₈是等比数列，

所以(S₈－S₄)²＝S₄·(S₁₂－S₈)，

所以a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂＝S₁₂－S₈＝$\frac{S452}{S4}$＝$\frac{25}{S4}$＋S₄＋10≥2$\sqrt{\frac{25}{S4}·S4}$＋10＝20(当且仅当S₄＝5时取等号).

故a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂的最小值为20.

答案　(1)C　(2)B

探究提高　1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.

2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

【拓展练习2】 (1)设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，(n＋1)S_n<nS_n＋1(n∈N^*).若$\frac{a8}{a7}$<－1，则(　　)

A.S_n的最大值是S₈ B.S_n的最小值是S₈

C.S_n的最大值是S₇ D.S_n的最小值是S₇

(2)已知数列{a_n}的各项都为正数，对任意的m，n∈N^*，a_m·a_n＝a_m＋n恒成立，且a₃·a₅＋a₄＝72，则log₂a₁＋log₂a₂＋…＋log₂a₇＝________.

解析　(1)由(n＋1)S_n<nS_n＋1得

$\frac{n1na1an}{2}$<$\frac{nn1a1an1}{2}$，

整理得a_n<a_n＋1，

所以等差数列{a_n}是递增数列，

又$\frac{a8}{a7}$<－1，所以a₈>0，a₇<0，

所以数列{a_n}的前7项为负值，所以S_n的最小值是S₇.

(2)因为对任意的m，n∈N^*，a_m·a_n＝a_m＋n恒成立，

令m＝1，则a₁·a_n＝a_1＋n对任意的n∈N^*恒成立，

∴数列{a_n}为等比数列，公比为a₁，

由等比数列的性质有a₃a₅＝a$24$，因为a₃·a₅＋a₄＝72，则a$24$＋a₄＝72，

∵a₄＞0，∴a₄＝8，

∴log₂a₁＋log₂a₂＋…＋log₂a₇

＝log₂(a₁·a₂·…·a₇)＝log₂a$74$＝log₂8⁷＝21.

答案　(1)D　(2)21

考向三　等差、等比数列的判断与证明

【典例3】 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，a_n>0，S$2n$＝a$2n1$－λS_n＋1，其中λ为常数.

(1)证明：S_n＋1＝2S_n＋λ；

(2)是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.

(1)证明　∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，S$2n$＝a$2n1$－λS_n＋1，

∴S$2n$＝(S_n＋1－S_n)²－λS_n＋1，

则S_n＋1(S_n＋1－2S_n－λ)＝0.

∵a_n>0，知S_n＋1>0，∴S_n＋1－2S_n－λ＝0，

故S_n＋1＝2S_n＋λ.

(2)解　由(1)知，S_n＋1＝2S_n＋λ，

当n≥2时，S_n＝2S_n－1＋λ，

两式相减，a_n＋1＝2a_n(n≥2，n∈N^*)，

所以数列{a_n}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.

又S₂＝2S₁＋λ，即a₂＋a₁＝2a₁＋λ，

∴a₂＝a₁＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.

因此a_n＝$\left\{\begin{array}{l}1n1\hfill \\ ë1·2n2n=2.\hfill \end{array}\right.$

若数列{a_n}是等比数列，则a₂＝1＋λ＝2a₁＝2.

∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a_n}是等比数列.

探究提高　1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n≥1，n∈N^*，验证a_n＋1－a_n$\left(\begin{array}{l}\frac{an1}{an}\hfill \end{array}\right)$为与正整数n无关的一常数；(2)中项公式法.

2.$\frac{an1}{an}$＝q和a$2n$＝a_n－1a_n＋1(n≥2)都是数列{a_n}为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零.

【拓展练习3】 (2020·安徽六校联考)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n＝3a_n－3^n＋1＋3(n∈N^*).

(1)设b_n＝$\frac{an}{3n}$，求证：数列{b_n}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；

(2)设c_n＝$\frac{an}{n}$－$\frac{an}{3n}$，T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n，求T_n.

(1)证明　由已知2S_n＝3a_n－3^n＋1＋3(n∈N^*)，①

n≥2时，2S_n－1＝3a_n－1－3ⁿ＋3，②

①－②得：2a_n＝3a_n－3a_n－1－2·3ⁿ⇒a_n＝3a_n－1＋2·3ⁿ，

故$\frac{an}{3n}$＝$\frac{an1}{3n1}$＋2，则b_n－b_n－1＝2(n≥2).

又n＝1时，2a₁＝3a₁－9＋3，解得a₁＝6，则b₁＝$\frac{a1}{3}$＝2.

故数列{b_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，

∴b_n＝2＋2(n－1)＝2n⇒a_n＝2n·3ⁿ.

(2)解　由(1)，得c_n＝2·3ⁿ－2n

T_n＝2(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)－2(1＋2＋…＋n)

＝2·$\frac{313n}{13}$－2·$\frac{1nn}{2}$＝3^n＋1－n²－n－3.

考向四　等差、等比数列的综合问题

【典例4】 (2020·北京西城区二模)从①前n项和S_n＝n²＋p(p∈R)；②a_n＝a_n＋1－3；③a₆＝11且2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答.

在数列{a_n}中，a₁＝1，________，其中n∈N^*.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若a₁，a_n，a_m成等比数列，其中m，n∈N^*，且m>n>1，求m的最小值.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解　选择①：

(1)当n＝1时，由S₁＝a₁＝1，得p＝0.

当n≥2时，由题意，得S_n－1＝(n－1)²，

所以a_n＝S_n－S_n－1＝2n－1(n≥2).

经检验，a₁＝1符合上式，

所以a_n＝2n－1(n∈N^*)

(2)由a₁，a_n，a_m成等比数列，得a$2n$＝a₁a_m，

即(2n－1)²＝1×(2m－1).

化简，得m＝2n²－2n＋1＝2$\left(\begin{array}{l}n\frac{1}{2}\hfill \end{array}\right)$${}^2$＋$\frac{1}{2}$.

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n＝2时，m有最小值5.

选择②：

(1)因为a_n＝a_n＋1－3，所以a_n＋1－a_n＝3，

所以数列{a_n}是公差d＝3的等差数列，

所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝3n－2(n∈N^*).

(2)由a₁，a_n，a_m成等比数列，得a$2n$＝a₁a_m，

即(3n－2)²＝1×(3m－2).

化简，得m＝3n²－4n＋2＝3$\left(\begin{array}{l}n\frac{2}{3}\hfill \end{array}\right)$${}^2$＋$\frac{2}{3}$.

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n＝2时，m取到最小值6.

选择③：

(1)因为2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2，

所以数列{a_n}是等差数列.

设数列{a_n}的公差为d.

因为a₁＝1，a₆＝a₁＋5d＝11，

所以d＝2.

所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n－1(n∈N^*) .

(2)因为a₁，a_n，a_m成等比数列，所以a$2n$＝a₁a_m，

即(2n－1)²＝1×(2m－1).

化简，得m＝2n²－2n＋1＝2$\left(\begin{array}{l}n\frac{1}{2}\hfill \end{array}\right)$${}^2$＋$\frac{1}{2}$.

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n＝2时，m有最小值5.

探究提高　1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.

2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.

【拓展练习4】 (2020·海南诊断)已知{a_n}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S_n，满足a₃＝12，________.是否存在正整数k，使得S_k>2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.

从①q＝2，②q＝$\frac{1}{2}$，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处并作答.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解　选择①：存在满足条件的正整数k.

求解过程如下：

因为a₃＝12，所以a₁＝$\frac{a3}{q2}$＝3.

所以S_n＝$\frac{312n}{12}$＝3(2ⁿ－1).

令S_k>2 020，则2^k>$\frac{2023}{3}$.

因为2⁹<$\frac{2023}{3}$<2¹⁰，所以使S_k>2 020的正整数k的最小值为10.

选择②：不存在满足条件的正整数k.

理由如下：

因为a₃＝12，所以a₁＝$\frac{a3}{q2}$＝48.

所以S_n＝$\frac{48\times \left(\begin{array}{l}1\frac{1}{2n}\hfill \end{array}\right)}{1\frac{1}{2}}$＝96$\left(\begin{array}{l}1\frac{1}{2n}\hfill \end{array}\right)$.

因为S_n<96<2 020，所以不存在满足条件的正整数k.

选择③：存在满足条件的正整数k.

求解过程如下：

因为a₃＝12，所以a₁＝$\frac{a3}{q2}$＝3.

所以S_n＝$\frac{3\times [12n]}{12}$＝1－(－2)ⁿ.

令S_k>2 020，则1－(－2)^k>2 020，

整理得(－2)^k<－2 019.

当k为偶数时，原不等式无解.

当k为奇数时，原不等式等价于2^k>2 019.

所以使S_k>2 020的正整数k的最小值为11.

【专题拓展练习】

一、单选题

20-21高三上·陕西西安·阶段练习

单选题 | 较易(0.85)

名校

已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（       ）

A．

B．

C．

D．58

2021-01-25更新 | 2257次组卷 | 10卷引用：陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题

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21-22高三上·吉林·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

等差等比公式法

《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，其大意为：有一女子擅长织布，每日织布尺数以相同数量递增，七天共织布二十八尺，且第二日､第五日､第八日所织布之和为十五尺，则第十日所织布的尺数为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-26更新 | 625次组卷 | 3卷引用：吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试数学（文）试题

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21-22高三上·北京丰台·期末

单选题 | 容易(0.94)

名校

在等差数列中，若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-20更新 | 2505次组卷 | 12卷引用：北京市丰台区2021届高三上学期期末数学试题

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21-22高三上·宁夏·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（       ）

A．－9

B．0

C．9

D．无法确定

2021-01-31更新 | 1672次组卷 | 7卷引用：宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试数学（文）试题

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20-21高三上·安徽宣城·期末

单选题 | 较易(0.85)

在等比数列中，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-29更新 | 932次组卷 | 4卷引用：安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末数学(文)试题

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20-21高三上·江苏连云港·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

解题方法

构造法求数列通项

在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（       ）（取，）

A．25000元

B．26000元

C．32000元

D．36000元

2021-01-23更新 | 1207次组卷 | 10卷引用：江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题

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21-22高三上·北京昌平·期末

单选题 | 较易(0.85)

名校

斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则（　　）

A．1

B．2

C．3

D．5

2021-01-21更新 | 1015次组卷 | 8卷引用：北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测数学试题

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20-21高三上·江苏常州·期末

单选题 | 适中(0.65)

解题方法

裂项相消法

已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-01-18更新 | 1199次组卷 | 12卷引用：江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 较易(0.85)

大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是､､､､､､､､､､…，则下列说法正确的是（       ）

A．此数列的第项是

B．此数列的第项是

C．此数列偶数项的通项公式为

D．此数列的前项和为

2021-01-16更新 | 1078次组卷 | 9卷引用：江西省红色七校（分宜中学、会昌中学等）2021届高三第二次联考数学（文）试题

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二、多选题

2021·广东·一模

多选题 | 较易(0.85)

名校

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（       ）

A．甲得钱是戊得钱的倍	B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍	D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱

2020-12-29更新 | 2236次组卷 | 12卷引用：广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟数学试题

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20-21高三上·湖北黄冈·阶段练习

多选题 | 较易(0.85)

名校

已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（       ）

A．	B．数列是等比数列
C．	D．数列是公差为2的等差数列

2020-12-18更新 | 1788次组卷 | 10卷引用：湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题

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2020·江苏南通·一模

多选题 | 较易(0.85)

名校

已知为等比数列，下面结论中错误的是　　

A．	B．
C．若，则	D．若，则

2020-12-30更新 | 1044次组卷 | 8卷引用：2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身练数学试题

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20-21高三上·山东威海·期中

多选题 | 较易(0.85)

在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（       ）

A．不可能为	B．“等差比数列”中的项不可能为
C．等差数列一定是“等差比数列”	D．等比数列一定是“等差比数列”

2020-12-04更新 | 544次组卷 | 7卷引用：山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题

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多选题 | 较难(0.4)

南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合，且，中所有的数从小到大排列的数列，，，，，…下列结论正确的是（       ）

A．第四行的数是17，18，20，24	B．
C．	D．

2020-12-08更新 | 841次组卷

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