1 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

2 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.
(1)判断函数，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；
(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；
(3)求证：当时，函数一定是“类周期函数”.

3 . 已知函数，且是定义在上的奇函数．
（1）求实数t的值并判断函数的单调性（不需要证明）；
（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若在上有两个零点，求证：且．

4 . 已知函数是上的偶函数，且当时，.
(1)求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(2)若，求实数的取值范围.

5 . 已知集合为非空数集，定义：，.
（1）若集合，直接写出集合、；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

6 . 已知定义在R上的函数满足，当时，．
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为R上的增函数；
（3）解关于x的不等式：（其中且a为常数）．

7 . 已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．

8 . 若对，恒有.
（1）求函数的解析式；
（2）令，求证：的充要条件是.

9 . 已知函数（）.
（1）判断的单调性并用定义法证明；
（2）若函数为奇函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．

10 . 已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
（1）求和的表达式；
（2）证明在上是增函数；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．