名校
解题方法
1 . 已知三棱锥
三条侧棱
，
，
两两互相垂直，且
，
，
分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段
的长度的最小值为______ ．
三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为
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2 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：
，其中
为顶点数，
为棱数，
为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，
，可以得到顶点数
.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有
条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：
个顶点的凸多面体，至多有条棱；(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
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3 . 如图，在矩形
中，
，
，是线段AD上的一动点，将
沿着BM折起，使点
到达点
的位置，满足点
平面
且点在平面内的射影
落在线段BC上．
重合时，证明：
平面
；
(2)当
时，求二面角
的余弦值；
(3)设直线CD与平面
所成的角为
，二面角的平面角为
，求
的最大值．
中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．
重合时，证明：平面；(2)当
时，求二面角的余弦值；(3)设直线CD与平面
所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
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解题方法
4 . 如图，点
是棱长为2的正方体
的表面上一个动点，
是线段
的中点，则（ ）
是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．若点满足 ，则动点的轨迹长度为 |
B．当点在棱 上时， 的最小值为 |
C．当直线AP与AB所成的角为 时，点的轨迹长度为 |
D．当在底面上运动，且满足 平面 时，线段PF长度最大值为 |
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5 . 如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱
，
，
的中点，点
满足
，
，下列说法正确的是（ ）
中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A． 平面 |
B．若，，，四点共面，则 |
C．若 ，点在侧面 内，且 平面 ，则点的轨迹长度为 |
D．若 ，由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体为 和 ，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 |
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2024-04-11更新
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947次组卷
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2卷引用：广东实验中学2023-2024学年高一下学期第二次段考数学试题
6 . 已知三棱锥，
面
，
，
交于，
交于，
，记三棱锥
，四棱锥
的外接球的表面积分别为
，
，当三棱锥体积最大时，则
________ .
，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则
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解题方法
7 . 如图，在四棱锥
中，平面
平面，
，
，
，
，
.为
的中点，点在上，且
.平面；
(2)在棱
上是否存在点
，使得点到平面
的距离为
，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
平面；(2)在棱
上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
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2023-07-18更新
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2248次组卷
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6卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）高一下学期期末复习解答题压轴题二十四大题型专练（2）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三上学期高考适应性测试（一）数学试题辽宁省部分名校2023-2024学年高二上学期联考数学试题（已下线）第11章 简单几何体（压轴必刷30题专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题二 空间距离 微点3 点到平面的距离（二）【培优版】
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8 . 在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（ ）
中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（ ）A．三棱锥 的体积为定值 |
B．若 ∥ ，则 平面 |
C．若 ，则 与平面 所成角为 |
D．若 ∥平面 ，则与 所成角的正弦最小值为 |
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2023-07-17更新
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1078次组卷
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5卷引用：四川省宜宾市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
四川省宜宾市2022-2023学年高一下学期期末数学试题四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题重庆市渝北中学校2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点5 直线与平面所成角综合训练【培优版】
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9 . 如图，正三棱柱
的上底面上放置一个圆柱
，得到一个组合体
，其中圆柱的底面圆
内切于
，切点，分别在棱，上，
为圆柱的母线.已知圆柱的高为
，侧面积为
，棱柱的高为
，则（ ）
的上底面上放置一个圆柱，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆内切于，切点，分别在棱，上，为圆柱的母线.已知圆柱的高为，侧面积为，棱柱的高为，则（ ） A．  平面 |
B． |
C．组合体的表面积为 |
D．若三棱柱的外接球面与线段交于点，则与平面 所成角的正弦值为 |
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2023-07-09更新
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687次组卷
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2卷引用：福建省泉州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
名校
解题方法
10 . 已知
是内一点，
.
(1)若是的外心，求
的余弦值；
(2)若是的垂心，是平面外一点，且
平面，当四面体
外接球体积最小时，求
的值.
是内一点，.(1)若
是的外心，求的余弦值；(2)若
是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值.
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