1 . 某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（       ）

A．3

B．4

C．5

D．6

3 . 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
   
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．

4 . 设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．

5 . 某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.

6 . 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形中，.根据这些信息，若在正五边形内任取一点，则该点取自正五边形内的概率是___________.

7 . 2020元旦联欢晚会上,,两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：班在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有红球,也有黄球,还有白球；班在一个纸盒中装有1个蓝球,1个黑球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有蓝球,也有黑球,事件发生的概率为,事件发生的概率为．
（1）求概率,及,；
（2）已知,其中,为常数,求．

8 . 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.

分组 （单位：千步）
频数	10	20	20	30	400	200	200	100	20

（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；

	健步达人	非健步达人	总计
40岁以上的市民
不超过40岁的市民
总计

（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；
（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），的值已求出约为.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数位于的人数为，求的数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：若，则，.

9 . 材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．
（1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分；
①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．
附：；；.

10 . 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：

等级
比例
赋分区间

而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：

考生科目	考试成绩	成绩等级	原始分区间	等级分区间
化学	75分	等级

设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：

成绩	95	93	91	90	88	87	85
人数	1	2	3	2	3	2	2

（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.