1 . 
个有次序的实数
，
，
，
所组成的有序数组
，，，
称为一个维向量，其中
，2，，
称为该向量的第
个分量．特别地，对一个维向量
，若
，
，
，称
为维信号向量．设，
，则和
的内积定义为
，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知
个两两垂直的2024维信号向量
，
，，
满足它们的前
个分量都是相同的，求证：
．
个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知
个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
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2024-05-03更新
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250次组卷
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3卷引用：专题03 高一下期末考前必刷卷01（基础卷）-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
（已下线）专题03 高一下期末考前必刷卷01（基础卷）-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题
2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2024-01-27更新
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918次组卷
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8卷引用：专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)
（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考（一）数学试题（已下线）第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末综合检测卷（新题型）-【帮课堂】（人教B版2019必修第三册）重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题
名校
解题方法
3 . 对于函数
，
，如果存在一组常数
，
，…，
（其中k为正整数，且
）使得当x取任意值时，有
则称函数为“k级周天函数”.
(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①
；②
；
(2)求证：当
时，
是“3级周天函数”；
(3)设函数
，其中b，c，d是不全为0的实数且存在
，使得
，证明：存在
，使得
.
，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①
；②；(2)求证：当
时，是“3级周天函数”；(3)设函数
，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
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解题方法
4 . （1）证明：若
，求证：
；
（2）已知
，
均为锐角，且满足
，
，求
值．
，求证：；（2）已知
，均为锐角，且满足，，求值．
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5 . （1）求证：
；
（2）求值：
.
；（2）求值：
.
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名校
解题方法
6 . 由倍角公式
，可知
可以表示为
的二次多项式．对于
，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求
的值；
(2)化简
；并利用此结果求
的值；
(3)已知方程
在
上有三个根，记为
，求证：
.
，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有可见
也可以表示成的三次多项式．(1)利用上述结论，求
的值；(2)化简
；并利用此结果求的值；(3)已知方程
在上有三个根，记为，求证：.
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2024-04-11更新
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750次组卷
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4卷引用：专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)
（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)江苏省泰州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）模块三专题2 新定义专练【高一下人教B版】江西省南昌市第五高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
解题方法
7 . 设
是不共线的两个非零向量．
(1)若
，求证：
三点共线；
(2)若
与
共线，求实数k的值．
是不共线的两个非零向量．(1)若
，求证：三点共线；(2)若
与共线，求实数k的值．
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2024-03-06更新
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3751次组卷
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9卷引用：浙江省杭州四中江东学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题
浙江省杭州四中江东学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（已下线）专题01 平面向量-《期末真题分类汇编》（人教A版2019必修第二册）（已下线）2.3 从速度的倍数到向量的数乘-同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）（已下线）2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）（已下线）专题3 平面向量的应用（期中研习室）山东省滨州市惠民文昌中学（北）2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷数学试题（已下线）专题03 平面向量的9种常考题型归类（1）-《期末真题分类汇编》(北师大版（2019）)江苏省苏州市汾湖高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
2024高一下·上海·专题练习
名校
8 . 对于集合
和常数
，定义：
为集合
相对的“余弦方差”．
(1)若集合
，
，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合
，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合
，
，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．(1)若集合
，，求集合相对的“余弦方差”；(2)求证：集合
，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；(3)若集合
，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
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2024-03-11更新
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528次组卷
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8卷引用：专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）
（已下线）专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)（已下线）第六章 三角（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）广东省惠州市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段考试数学试题上海民办南模中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（已下线）第10章 三角恒等变换 单元综合测试（难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
名校
解题方法
9 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以
轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角
来刻画.设
，则
.另外，将向量
绕点按逆时针方向旋转角后得到向量
.如果将
的坐标写成
（其中
，那么
.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量
的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和
分别为等腰直角
和等腰直角
的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量的坐标;(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
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解题方法
10 . 定义在
上的单调函数
满足：
.
(1)求证：是奇函数；
(2)若
在
上有零点，求
的取值范围.
上的单调函数满足：.(1)求证：
是奇函数；(2)若
在上有零点，求的取值范围.
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