1 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.

2 . 设非零向量，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

3 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

4 . 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

5 . 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．
(1)已知数集，请写出数集对应的向量集，并判断是否具有性质（不需要证明）．
(2)若，且具有性质，求的值；
(3)若具有性质，且，为常数且，求证：．

7 . 设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)

8 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质．向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义．向量运算与几何图形性质的内在联系，使我们自然想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、便捷呢？在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度审视研究对象，而且还可以有所发现．三角形是几何中最简单的封闭图形，但它是最重要的基本几何图形之一．三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带．在平面几何中，我们已经研究过三角形的一些基本性质，但对三角形的认识还不够深入，例如对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识．因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的．

（1）①叙述余弦定理，并用向量的方法证明余弦定理；②直接写出余弦定理的向量表示（用，表示）．
（2）中，分别是的中点，O是重心，证明：对任意一点P，向量与共线．
（3）我们知道，三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，请你从下面两个问题中任选一个并解答（注：如果选择两个，则按第一个解答计分）①用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点．如图①所示，中，设边上的高交于点H，求证：边上的高过点H；②用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，的三边的中点分别为和边上的垂直平分线交于点O，求证：边上的垂直平分线过点O．

9 . 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P.

(1)求的值；
(2)试问：当为何值时，?
(3)求证：.

10 . 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：______.（用，表示）
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.