解题方法
1 . 人们把蜂房誉为自然界最奇异的建筑，蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形.1943年，匈牙利数学家陶斯（Laszlo Fejes Toth）证明了，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.1999年，黑尔斯证明了周边是曲线时，无论曲线是向外凸还是向内凹，由正六边形组成的图形周长都是最小的.如图是一个边长为2的正六边形ABCDEF，则
（ ）
（ ）
| A．4 | B． | C． | D． |
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解题方法
2 . 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于
时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知
分别是
三个内角
的对边，且
，若点
为的费马点，则
______ .
时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则
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2023-09-03更新
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283次组卷
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3卷引用：江西省鹰潭市2023届高三高考一模数学（理）试题
江西省鹰潭市2023届高三高考一模数学（理）试题（已下线）第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）福建省永安市第三中学高中校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
3 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
、
的距离之比为定值
（
且
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系
中，
、
，点满足
，则
的最小值为___________ .
、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为
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2023-08-02更新
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1001次组卷
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10卷引用：江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）2.1 圆的方程（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）第2章 圆与方程章末题型归纳总结（2）黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题内蒙古自治区优质高中联考2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（期中）数学试题吉林省白山市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题（已下线）专题04 与圆有关的轨迹方程问题【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期末精确押题之填空题(40题）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）
名校
4 . “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，
，
，
的面积分别为
、
、
，则有
，设O是锐角内的一点，
，
，
分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为的重心 |
B．若 ，则 |
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 |
D．若 ， ， ，则 |
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2023-07-18更新
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1354次组卷
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9卷引用：江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二上学期假期质量评估数学试题（已下线）模块六 专题5 全真拔高模拟1（已下线）专题01 平面向量压轴题（2）-【常考压轴题】（已下线）专题11 平面向量小题全归类（13大核心考点）（讲义）（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（1）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）（已下线）专题突破：奔驰定理与三角形面积问题-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）（已下线）模型4 妙用平面向量“奔驰定理”模型（高中数学模型大归纳）
5 . 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形
的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A．若函数 ，则函数 的最小值为 |
B．的最大值为 |
C． 在 方向上的投影向量为 |
D． |
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2023-06-22更新
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906次组卷
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5卷引用：江西省丰城市第九中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题
江西省丰城市第九中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题江西省彭泽县第二高级中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题浙江省衢州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）模块五 专题3 全真拔高模拟（人教B）（已下线）第四节 平面向量的综合应用 A素养养成卷
名校
解题方法
6 . 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形
是由
个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若
，
，
为
的中点，则
（ ）
是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-03-14更新
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1759次组卷
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22卷引用：江西省上饶市山江湖协作体2020-2021学年高一(统招班）5月联考数学（理）试题
江西省上饶市山江湖协作体2020-2021学年高一(统招班）5月联考数学（理）试题【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题黑龙江省哈尔滨市三中2018-2019学年高一下学期第一模块数学试题山东省实验中学2020-2021学年高三第二次诊断试题数学试题山东省济南市历城第二中学2020-2021学年高三期中数学试题（已下线）练习15+平面向量基本定理与坐标表示-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高一数学（苏教版）江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测数学试题（已下线）6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精练）-2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）第二章 平面向量（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第二册）甘肃省民乐县第一中学2021届高三押题卷（三）数学（理）试题福建省泉州科技中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题江苏省无锡市宜兴市2020-2021学年高一下学期期中数学试题江苏省泰州市泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021学年高一下学期期中数学试题河南省郑州市第十一中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题山东省济宁市泗水县2021-2022学年高三上学期期中数学试题湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(六)数学试题福建省石狮市永宁中学2023届高三第四次模拟数学试题安徽省安庆市第二中学2022-2023学年高三下学期第七次质量检测数学试题（已下线）押新高考第3题 平面向量（已下线）模块三 专题3 小题满分挑战练（4）（人教B）新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）专题06 平面向量-1
名校
解题方法
7 . 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为
，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． |
B． 在向量上的投影向量为 |
C．若 ，则为 的中点 |
D．若在线段 上，且 ，则 的取值范围为 |
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2023-03-14更新
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2719次组卷
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18卷引用：江西省赣州市六校联盟2022-2023学年高一5月联考数学试题
江西省赣州市六校联盟2022-2023学年高一5月联考数学试题江西省赣州市兴国中学、兴国平川中学2022-2023学年高一下学期5月联合测评数学试题河北省沧州市献县第五中学2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题河北省定州市第二中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题辽宁省沈阳市回民中学2022-2023学年度高一下学期4月月考数学试卷甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）模块八 专题8 以数学文化新情景为背景的压轴题第9章 平面向量（单元测试）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）第六章 平面向量及其应用（单元测试）-【同步题型讲义】福建省华安县第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题湖北省荆州市部分校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题广东省珠海市斗门区第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题福建省厦门第一中学海沧校区2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（已下线）第6章 平面向量及其应用 单元综合检测-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）河北省沧州市泊头市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题单元测试B卷——第六章 平面向量及其应用四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如
）为等腰直角三角形，点
为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则
的值为（ ）
）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ） 
| A．10 | B．12 | C．14 | D．16 |
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2023-02-10更新
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1109次组卷
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6卷引用：江西省南昌市南昌县莲塘第一中学等2校2023届高三二模数学（文）试题
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学等2校2023届高三二模数学（文）试题广东省六校（广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中）2023届高三第四次联考数学试题河南省信阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）微专题05 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）江苏省泰州市口岸中学2022-2023学年高一下学期第一次阶段检测数学试题（已下线）FHgkyldyjsx06
名校
9 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且
，
，若点P为的费马点，则（ ）
；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-01-07更新
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2177次组卷
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12卷引用：江西省赣州市兴国平川中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
江西省赣州市兴国平川中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期终质量评估（期末）数学（理）试题（已下线）河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期末数学（理）试题变式题11-15河南省实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题重难点：解三角形综合检测（提高卷）云南省曲靖市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次阶段性测验数学试题河南省濮阳市华龙区第一高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题15 几何最值（费马点、布洛卡点等） 微点3 费马点、布洛卡点综合训练（已下线）专题01 平面向量压轴题（1）-【常考压轴题】广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷天津市嘉诚中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（已下线）【练】专题8 三角函数中的新定义、数学文化问题
名校
10 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则
的取值范围是（ ）
的取值范围是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022-04-26更新
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1167次组卷
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10卷引用：江西省景德镇市2022届高三第三次质检数学（文）试题
江西省景德镇市2022届高三第三次质检数学（文）试题江西省景德镇市2022届高三第三次质检数学（理）试题江西省宜丰县宜丰中学2024届高三上学期10月月考数学试题陕西省西安市阎良区2021-2022学年高一下学期期末数学试题福建省石狮市第八中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题山东省日照市2022-2023学年高三上学期11月校际联合考试数学试题（已下线）模块五 专题2 全真能力模拟（人教B）青海省西宁北外附属新华联外国语高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）模块四 题型突破篇 小题入门夯实练（4）（已下线）6.2.4 向量的数量积——课后作业（提升版）
