1 . 在数列中，，其前项和为，满足，其中.
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设为数列的前项和，求；
(3)设数列的通项公式为为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有数列为递增数列.

2 . 已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列是等差数列，求实数的值；
(3)若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

3 . 设首项为1的正项数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）数列是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）设试问是否存在正整数使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由．

4 . 已知数列中，且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，求的取值的集合.

5 . 已知数列的前项的和，点在函数图象上：
(1)证明：是等差数列；
(2)若函数，数列满足，记，求数列前项和；
(3)是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由．

6 . 设函数，函数
（1）当时，解关于的不等式： ；
（2）若且，已知函数有两个零点和，若点， ，其中是坐标原点，证明： 与不可能垂直.

7 . 在数列中，.
(1)求证数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.

8 . 已知数列满足：
(1) 证明：数列是等比数列；
(2) 求使不等式成立的所有正整数m、n的值；
(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k，都有成立，求t的取值范围．

9 . 对于每项均是正整数的数列，定义变换将数列A变换成数列.对于每项均是非负整数的数列，定义变换将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．又定义.设是每项均为正整数的有穷数列，令．
(1)如果数列为2,6,4,8，写出数列；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明：；
(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当时，．

10 . 已知数列中.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明：．