1 . 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.

2 . 若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．

3 . （1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.

4 . 如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体

   

(1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：共面；
（ⅱ）求多边形的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．

5 . 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．

6 . 已知函数.
(1)若，，设函数，请求出的值域并求证：；
(2)若，，，记，且是一个三角形的三条边长，请写出方程的所有正整数解的集合；
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边，求证：在时恒成立.

7 . 在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

   

(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.

8 . 已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

9 . 设S_n是数列的前n项和，定义等斜率数列且等式恒成立．
(1)若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；
(2)已知是等斜率数列，证明：是等差数列．

10 . 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和.
(1)若，，，求；
(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
(3)证明：为完全平方数.