1 . 设S_n是数列的前n项和，定义等斜率数列且等式恒成立．
(1)若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；
(2)已知是等斜率数列，证明：是等差数列．

2 . 已知斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的第个数记为，则，，已知，，则______.（用含，的代数式表示）

3 . 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．

4 . 满足的最小正整数为（       ）

A．12

B．13

C．17

D．18

5 . 已知的数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
(1)求，．
(2)证明：当时，．
(3)是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．

6 . 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．

7 . 训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：
①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；
②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率；
③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于；
④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.
其中，所有正确结论的序号是______.

8 . 某市遇到洪涝灾害．在该市的某湖泊的岸边的O点处（湖岸可视为直线）停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑（假设小船沿直线匀速漂移）．

(1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度（请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h）．
现有两种方案：
①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m．当小船在漂移到B处时，测得；经过15s，小船漂移到C处，测得．又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得和；经过20s，小船漂移到D处，测得和．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
(2)如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船．问安全员是否能追上小船？请说明理由．
参考数据：，，，．

9 . 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：
①；
②；
③设，则；
④设，则有最大值，但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

10 . 在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项.
(1)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；
(2)已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和.