1 . 已知是正实数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
(3)已知是正数，且，求证：．

2 . 设数列满足，，当.
（1）计算，，猜想的通项公式，并加以证明.
（2）求证：.

3 . 已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

4 . （1）设是坐标原点，且不共线，求证：；
（2）设均为正数，且.证明：.

5 . 在数列中，已知.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：.

6 . 已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.

7 . 在中，中线和中线相交于点，点在边上.
(1)若，证明：点是边上靠近点的四等分点；
(2)证明：；
(3)若，求中最大角与最小角的和.

8 . 如图，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，，点是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面.

(1)当平面时，求的值；
(2)证明：不可能垂直；
(3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为（其中），求的最大值.

9 . 在中，，，对应的边分别为，，，.
(1)求；
(2)奥古斯丁·路易斯·柯西（，年年），法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值.

10 . 已知，，均为正实数.
(1)若，试比较与的大小；
(2)求证：.