1 . 已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________.

2 . 设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；
(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.

3 . 已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
(3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程.

4 . 已知函数的定义域是R，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法中错误的是（       ）

A．

B．

C．若存在使在上严格增，在上严格减，则2024是的极小值点

D．若为偶函数，则满足题意的唯一，不唯一

5 . 如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是______.

6 . 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.

7 . 已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.

8 . 已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；

   

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.

   

9 . 如图，在等腰梯形中，∥，，，.点是线段上的一点，点在线段上，.
命题①：若，则随着的增大而减少.
命题②：设，若存在线段把梯形的面积分成上下相等的两个部分，那么，随着的增大而减少.
则下列选项正确的是（       ）．

A．命题①不正确，命题②正确	B．命题①，命题②都不正确
C．命题①正确，命题②不正确	D．命题①，命题②都正确

10 . 已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)证明：点到右焦点的距离为；
(2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程；
(3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．