1 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.

2 . 已知函数.
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明.

3 . 已知椭圆：的长轴长为4，两准线间距离为．设为椭圆的左顶点，直线过点，且与椭圆相交于，两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）已知直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线和的斜率分别为，，求证：为定值．

4 . 已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

5 . 已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．

6 . 已知，且，函数，其中为自然对数的底数：
（1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值；
（2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点；
（3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

7 . 如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点，．

(1)若，求直线的斜率；
(2)过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；
（3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值.

9 . 设命题：对任意的，恒成立，其中．

（1）若，求证：命题为真命题．

（2）若命题为真命题，求的所有值．

10 . 设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时， 恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时， .