1 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：．

3 . 已知函数．
(1)判断函数在区间上极值点和零点的个数，并给出证明；
(2)若恒成立，求实数．

4 . 已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．

5 . 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

6 . 已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求证：实数.

7 . 已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．

8 . 已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、，证明

9 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．

10 . 设
(1)证明：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.