2024高三·全国·专题练习
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1 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的.它的表达如下:如果函数满足在闭区间连续,在开区间内可导,且,那么在区间内至少存在一点,使得.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
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2 . 求证:当时,.
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23-24高二下·江西宜春·期中
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3 . 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,,,注:,,,,已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似.
(2)在(1)的条件下: ①求证:;
②若恒成立,求实数的取值范围.
(1)求函数在处的阶帕德近似.
(2)在(1)的条件下: ①求证:;
②若恒成立,求实数的取值范围.
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2024·江西·模拟预测
解题方法
4 . 已知曲线在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)求的单调区间;
(3)已知,且,证明:对任意的,.
(1)求a,b的值;
(2)求的单调区间;
(3)已知,且,证明:对任意的,.
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23-24高二下·山东济宁·期中
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5 . 帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,.(注:为的导数)已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值;
(2)比较与的大小;
(3)证明:.
(1)求实数的值;
(2)比较与的大小;
(3)证明:.
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2024·浙江绍兴·二模
名校
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6 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,…,. 已知在处的阶帕德近似为.注:,,,,…
(1)求实数的值;
(2)当时,试比较与的大小,并证明;
(3)定义数列:,,求证:.
(1)求实数的值;
(2)当时,试比较与的大小,并证明;
(3)定义数列:,,求证:.
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7日内更新
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587次组卷
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3卷引用:专题12 帕德逼近与不等式证明【练】
23-24高二下·云南·期中
7 . 已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,若方程有三个不相等的实数根,且,证明:.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,若方程有三个不相等的实数根,且,证明:.
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2024·广东·二模
解题方法
8 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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23-24高二下·湖北·期中
名校
9 . 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(Brook Taylor)发现的泰勒公式(又称夌克劳林公式)有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.其中,表示的二阶导数,即为的导数,表示的阶导数.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
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2024·河南周口·模拟预测
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10 . 已知函数.
(1)求函数在区间上的极值点的个数.
(2)“”是一个求和符号,例如,,等等.英国数学家布鲁克·泰勒发现,当时,,这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.
证明:(i)当时,对,都有;
(ii).
(1)求函数在区间上的极值点的个数.
(2)“”是一个求和符号,例如,,等等.英国数学家布鲁克·泰勒发现,当时,,这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.
证明:(i)当时,对,都有;
(ii).
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