1 . 若A、B是抛物线
上的不同两点，弦
（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当
时，点
存在无穷多条“相关弦”．给定
．
(1)证明：点
的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用
表示）；若不存在，请说明理由．
上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定．(1)证明：点
的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(2)试问：点
的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由．
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真题
解题方法
2 . 如图，双曲线
的离心率为
，
分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且
．
(2)设
和
是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线
交双曲线于另一点E．证明：直线
垂直于x轴．
的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
(2)设
和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．
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真题
解题方法
3 . 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
的准线
与
轴相交于点
，
，过点的直线与椭圆相交于
两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)设
，过点
且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点
，证明
．
，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若
，求直线的方程；(3)设
，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．
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真题
4 . 已知
，函数
．设
，记曲线
在点
处的切线为l．
(1)求l的方程；
(2)设l与x轴交点为
．证明：
①
；
②若
，则
．
，函数．设，记曲线在点处的切线为l．(1)求l的方程；
(2)设l与x轴交点为
．证明：①
；②若
，则．
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5 . 已知定义在正实数集上的函数
，其中．设两曲线，
有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：
．
，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：
．
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2022-11-09更新
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651次组卷
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4卷引用：2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷）
2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷）（已下线）专题17 盘点利用导数证明不等式的五种方法-1（已下线）考点20 导数的应用--不等式问题 2024届高考数学考点总动员【练】江苏省苏州吴江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
真题
解题方法
6 . 如图，以椭圆
的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点
作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结
交小圆于点B．设直线
是小圆的切线．
(1)证明
，并求直线与y轴的交点M的坐标；
(2)设直线交椭圆于P、Q两点，证明：
．
的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结交小圆于点B．设直线是小圆的切线．(1)证明
，并求直线与y轴的交点M的坐标；(2)设直线
交椭圆于P、Q两点，证明：．
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真题
7 . 抛物线
的内接三角形有两边与抛物线
相切，证明这个三角形的第三边也与相切．
的内接三角形有两边与抛物线相切，证明这个三角形的第三边也与相切．
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真题
解题方法
8 . 已知圆
，
是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与x轴相交于点，证明：
.
，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与x轴相交于点，证明：.
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真题
9 . 已知抛物线
和
，如果直线l同时是
和
的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
(1)a取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a取什么值时，
和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若
和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
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真题
解题方法
10 . 设函数
，其中常数m为整数，
(1)当m为何值时，
；
(2)定理：若函数
在
上连续，且
与
异号，则至少存在一点
，使
．试用上述定理证明：当整数
时，方程
在
内有两个实根．
，其中常数m为整数，(1)当m为何值时，
；(2)定理：若函数
在上连续，且与异号，则至少存在一点，使．试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根．
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