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解题方法
1 . 若函数
在定义域内存在两个不同的数
，同时满足
，且在点
处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：
为“切合函数”；
(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
．
在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”(1)证明：
为“切合函数”；(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．（ⅰ）求证：
；（ⅱ）求证：
．
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2 . 已知函数
曲线
在原点处的切线为
.
(1)证明：曲线与
轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为
，曲线在点处的切线为直线
，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ；
(3)若关于的方程
（
为正实数）有不等实根
求证：
曲线在原点处的切线为 . (1)证明：曲线
与轴正半轴有交点；(2)设曲线
与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ；(3)若关于
的方程（为正实数）有不等实根求证：
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3 . 已知函数
，曲线
在原点处的切线为.
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程
（为正实数）有不等实根
，求证：
.
，曲线在原点处的切线为.(1)证明：曲线
与轴正半轴有交点；(2)设曲线
与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；(3)若关于
的方程（为正实数）有不等实根，求证：.
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4 . 已知与
都是定义在
上的函数，若对任意
，
，当
时，都有
，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断
是否为函数
的一个控制函数，并说明理由；
(2)设
的导数为
，求证：关于的方程
在区间
上有实数解；
(3)设
，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．(1)判断
是否为函数的一个控制函数，并说明理由；(2)设
的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)设
，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
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5 . 在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，
是抛物线
上位于
轴两侧不对称的两动点，且
．
(1)求证：直线
恒过一定点
，并求出该点坐标；
(2)若点
为轴上一定点，且
；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为
，
，求
面积的最小值．
中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．(1)求证：直线
恒过一定点，并求出该点坐标；(2)若点
为轴上一定点，且；（ⅰ）求出
点坐标；（ⅱ）过点
作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
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解题方法
6 . 已知函数
.
(1)若
，求函数在
处的切线方程；
(2)若函数在上单调递减，求
的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，
，求证：
.
.(1)若
，求函数在处的切线方程；(2)若函数
在上单调递减，求的取值范围；(3)若函数
有两个极值点，，求证：.
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解题方法
7 . 帕德近似是法国数学家亨利
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，
，函数在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
，
，注：
，
，
，
，
已知函数
.
(1)求函数在处的
阶帕德近似
，并求
的近似数
精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：
；
②若
恒成立，求实数的取值范围.
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数
.(1)求函数
在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到(2)在（1）的条件下：
①求证：
；②若
恒成立，求实数的取值范围.
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2024-04-13更新
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1039次组卷
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7卷引用：重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题
重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期3月月考数学试题（已下线）模块3 第8套 全真模拟篇安徽省黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测数学试题（已下线）专题12 帕德逼近与不等式证明【练】天津市武清区杨村第一中学2024届高考数学热身训练卷河北省秦皇岛市部分示范高中2024届高三下学期三模数学试卷
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解题方法
8 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，
满足①图象在
上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对
，
．则
，使得
．特别的，取
，则有：，使得
，此情形称之为拉格朗日中值定理．
(1)设函数满足
，其导函数
在上单调递增，判断函数
在的单调性并证明；
(2)若
且
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)若
，求证：
．
，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理．(1)设函数
满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明；(2)若
且，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，求证：．
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9 . 已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
.
.(1)当
时，求的极值；(2)若
恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：
.
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2024-05-25更新
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711次组卷
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5卷引用：重庆市第十八中学2023-2024学年高二下学期中期学习能力摸底考试数学试题
10 . 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，证明：
在
上单调递增；
(3)判断
与
的大小关系，并加以证明．
．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)设
，证明：在上单调递增；(3)判断
与的大小关系，并加以证明．
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